Num triângulo retângulo, os catetos medem 2x e x+6 e a hipotenusa mede 26. Determine o valor de x (apresente a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num triângulo retângulo, os catetos medem 2x e x+6 e a hipotenusa mede 26. Determine o valor de x (apresente a solução exata).
- A) x = 6
- B) x = 2
- C) x = 4
- D) x = (-6 + 2v809)/5 (valor positivo)
- E) x = 10
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Como o triângulo é retângulo, vale o teorema de Pitágoras: (cateto 1)^2 + (cateto 2)^2 = (hipotenusa)^2. Aqui os catetos são 2x e x+6 e a hipotenusa é 26, então (2x)^2 + (x+6)^2 = 26^2. Passo 2: Desenvolva os termos: 4x^2 + (x^2 + 12x + 36) = 676. Passo 3: Some os termos semelhantes: 5x^2 + 12x + 36 = 676, o que leva a 5x^2 + 12x - 640 = 0. Passo 4: Aplique a fórmula de Bhaskara com a = 5, b = 12 e c = -640. O discriminante é Delta = 12^2 - 4*5*(-640) = 144 + 12800 = 12944. Como 12944 = 16 * 809, a raiz quadrada é 4 * raiz de 809. Passo 5: Então x = (-12 ± 4 * raiz de 809) / 10, que simplifica para x = (-6 ± 2 * raiz de 809) / 5. Como um cateto e uma medida de comprimento devem ser positivos, x também precisa ser positivo, então ficamos com o sinal de mais: x = (-6 + 2 * raiz de 809) / 5, aproximadamente 10,18. Passo 6: Conferindo, os catetos valem cerca de 20,36 e 16,18, e 20,36^2 + 16,18^2 é aproximadamente 675,9, próximo de 676. Passo 7: Comparando com o gabarito oficial, a alternativa D está correta, e o resultado coincide com a resolução acima. Passo 8: As outras alternativas estão erradas: A (x = 6) daria catetos iguais a 12, e a hipotenusa seria 12 raiz de 2, não 26; B (x = 2) daria catetos 4 e 8, cuja hipotenusa seria raiz de 80, bem menor que 26; C (x = 4) daria catetos 8 e 10, com soma dos quadrados 164, muito abaixo de 676; E (x = 10) daria catetos 20 e 16, com soma dos quadrados 656, que é próximo de 676 mas não exato, pois a equação só é satisfeita pelo valor irracional acima.
💡 Dica: Aplique o teorema de Pitágoras para resolver a equação.
Alternativa por alternativa
Provavelmente igualou os dois catetos (2x = x+6, o que dá x = 6) sem qualquer justificativa, como se o triângulo fosse isósceles.
Por que engana: Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
Provavelmente chutou ou fez uma substituição sem verificar o teorema de Pitágoras, sem elevar os catetos ao quadrado e sem comparar com 26^2.
Provavelmente testou valores inteiros sem conferir o resultado na equação de Pitágoras, e a soma dos quadrados dos catetos (164) ficou muito distante de 676.
Pitagoras: (2x)²+(x+6)²=26² ? 5x²+12x-640=0. Resolvendo a quadrática: x = [-12 ± v(144+12800)]/10 = (-6 ± 2v809)/5; escolher a raiz positiva.
Provavelmente fez tentativa e erro, achou que 400 + 256 = 656 era suficientemente próximo de 676 e não percebeu que a igualdade exata não se verifica, ou errou na expansão de (x+6)^2.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · equações do 1º grau
Revisar o teorema de Pitágoras e resolução de equações.
Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
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