(DISSERTATIVA) Uma escada rígida de 13,0 m encosta em um muro. Ao afastar a base da parede em 2,0 m, o ponto…

Questão

(DISSERTATIVA) Uma escada rígida de 13,0 m encosta em um muro. Ao afastar a base da parede em 2,0 m, o ponto alcançado pela escada no muro desce 1,0 m. Determine a distância inicial da base ao muro (em metros) e as alturas inicial e final atingidas pela escada. Apresente cálculo e justificativa.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Seja x a distância inicial da base ao muro e h a altura inicial alcançada. Pela relação da escada: x² + h² = 13² =169. Ao afastar a base 2 m, a nova base é x+2 e a nova altura é h-1, então (x+2)² + (h-1)² =169. Expandindo a segunda equação: x² +4x +4 + h² -2h +1 =169. Subtraindo a primeira equação (x²+h²=169) obtemos 4x +5 -2h =0, logo 2h =4x+5 e h = (4x+5)/2. Substitua em x² + h² =169: x² + ((4x+5)²/4) =169. Multiplique por 4: 4x² + (16x² +40x +25) =676 ?20x² +40x -651 =0. Aplicando a fórmula de Bhaskara: x = [-40 ± v(40² -4·20·(-651))]/(2·20) = [-40 ± v53680]/40. A raiz positiva é x ˜ (-40 +231.688)/40 ˜4.792 m (descarta-se a negativa pois distância positiva). Então h = (4x+5)/2 ˜(4·4.792+5)/2 ˜12.085 m. A altura final é h-1 ˜11.085 m. Resumo: distância inicial ˜4,79 m; alturas inicial ˜12,09 m e final ˜11,09 m (valores aproximados com duas casas decimais).

Explicação

A solução utiliza o Teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias e alturas da escada, estabelecendo duas equações que representam a situação antes e depois do afastamento. A substituição e simplificação das equações permitem encontrar a distância inicial da base ao muro e as alturas correspondentes. Os cálculos realizados garantem que as soluções respeitam as condições do problema, resultando em valores coerentes e consistentes com a geometria envolvida.

Raio-X da questão

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