Num triângulo retângulo com catetos medindo 6 m e 8 m, inscreve-se um quadrado cujo vértice inferior esquerdo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Classificar e comparar figuras planas (triângulo, quadrado, retângulo, trapézio e paralelogramo) em relação a seus lados (quantidade, posições relativas e comprimento) e vértices.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num triângulo retângulo com catetos medindo 6 m e 8 m, inscreve-se um quadrado cujo vértice inferior esquerdo coincide com o vértice do ângulo reto e cujos lados estão sobre os catetos. Determine a medida x do maior quadrado possível e apresente a justificativa geométrica e algébrica.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Considere um sistema de coordenadas com o vértice do ângulo reto na origem O(0,0), o cateto horizontal em (8,0) e o cateto vertical em (0,6). A hipotenusa tem equação y = -(6/8)x + 6 = -(3/4)x + 6. O quadrado inscrito de lado x tem vértice superior direito em (x,x), que pertence à hipotenusa. Substituindo: x = -(3/4)x + 6 ? x + (3/4)x = 6 ? (7/4)x = 6 ? x = 6·4/7 = 24/7 m ˜ 3,4286 m. Alternativamente, pela semelhança entre o triângulo pequeno (lado residual) e o triângulo maior obtém-se a mesma relação linear que conduz a x = 24/7.
Explicação
A solução utiliza coordenadas para determinar a posição do quadrado em relação à hipotenusa do triângulo, estabelecendo uma relação algébrica que leva à medida do lado do quadrado. A substituição na equação da hipotenusa garante que o vértice do quadrado esteja corretamente posicionado, confirmando a validade da medida encontrada. Além disso, a abordagem por semelhança de triângulos reforça a consistência do resultado, mostrando que diferentes métodos levam à mesma conclusão.
Raio-X da questão
triângulo retângulo e quadrado
avaliacao
propriedades do triângulo retângulo · área de figuras geométricas
Revisar propriedades de triângulos retângulos e relações geométricas.
O aluno pode confundir a relação entre os catetos e a altura do quadrado, resultando em um cálculo incorreto da área.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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