Num triângulo retângulo a hipotenusa vale c = 2x+3 e os catetos valem a = x+1 e b = x+4. Determine x.
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num triângulo retângulo a hipotenusa vale c = 2x+3 e os catetos valem a = x+1 e b = x+4. Determine x.
- A) x = -2
- B) x = (-1 + v17) / 2
- C) x = 3
- D) x = 2
- E) x = 1
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Como o triângulo é retângulo, vale o teorema de Pitágoras: a^2 + b^2 = c^2, em que c é a hipotenusa. Passo 2: Substituindo os valores, (x+1)^2 + (x+4)^2 = (2x+3)^2. Passo 3: Desenvolvendo os quadrados, x^2 + 2x + 1 + x^2 + 8x + 16 = 4x^2 + 12x + 9, ou seja, 2x^2 + 10x + 17 = 4x^2 + 12x + 9. Passo 4: Passando todos os termos para um lado, 0 = 2x^2 + 2x - 8, que dividido por 2 fica x^2 + x - 4 = 0. Passo 5: Pela fórmula de Bhaskara, x = (-1 ± raiz de 17) / 2. Passo 6: Como são medidas de lados, é preciso que a+ = x+1 > 0, b = x+4 > 0 e c = 2x+3 > 0, o que exige x > -1. A raiz negativa, (-1 - raiz de 17)/2 (aproximadamente -2,56), não atende a essa condição e é descartada. A raiz positiva, (-1 + raiz de 17)/2 (aproximadamente 1,56), é a solução. Passo 7: Conferência: com x aproximadamente 1,56, os catetos são cerca de 2,56 e 5,56 e a hipotenusa cerca de 6,12; 2,56^2 + 5,56^2 é aproximadamente 6,55 + 30,91 = 37,46, e 6,12^2 é aproximadamente 37,45, confirmando o resultado. Passo 8: Por que as outras estão erradas: A) x = -2 faz a = -1, medida negativa, impossível; C) x = 3 dá 16 + 49 = 65, diferente de 81; D) x = 2 dá 9 + 36 = 45, diferente de 49; E) x = 1 dá 4 + 25 = 29, diferente de 25. O gabarito B está correto.
💡 Dica: Aplique o teorema de Pitágoras para resolver a equação.
Alternativa por alternativa
O aluno aceita a raiz negativa da equação do segundo grau sem verificar que ela torna um cateto negativo (x+1 = -1), o que não existe em medidas de lados.
Aplicar (x+1)² + (x+4)² = (2x+3)² ? 2x² +10x +17 = 4x² +12x +9 ? x² + x -4 = 0 ? x = (-1±v17)/2; único positivo é (-1+v17)/2.
O aluno testa valores inteiros ao acaso ou acredita que a equação tem solução inteira, sem verificar a igualdade de Pitágoras, e não percebe que 16 + 49 não é igual a 81.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os lados do triângulo, aplicando incorretamente a fórmula do teorema de Pitágoras.
O aluno erra na expansão dos quadrados ou na substituição, obtendo a igualdade aparente com x = 2 sem conferir os valores numéricos finais: 9 + 36 = 45 não é igual a 49.
O aluno supõe que a hipotenusa é o maior valor sem fazer a conta, ou erra o sinal ao desenvolver o quadrado de (2x+3), chegando a uma igualdade falsa como 29 = 25.
Raio-X da questão
teorema de Pitágoras
avaliacao
teorema de Pitágoras · equações do 1º grau
Revisar o teorema de Pitágoras e como aplicá-lo em triângulos retângulos.
O aluno pode confundir a relação entre os lados do triângulo, aplicando incorretamente a fórmula do teorema de Pitágoras.
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