Seja o triângulo retângulo ABC com ?C = 90° e CH a altura até a hipotenusa AB, que determina projeções AH e HB…

Questão

Seja o triângulo retângulo ABC com ?C = 90° e CH a altura até a hipotenusa AB, que determina projeções AH e HB (AH+HB = AB). Demonstre que AH = AC²/AB, HB = BC²/AB e CH = (AC·BC)/AB. Forneça demonstração completa usando semelhança de triângulos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere a altura CH em um triângulo retângulo ABC (?C=90°). Os triângulos ACH e CHB são semelhantes ao triângulo ABC: ACH ~ ABC e CHB ~ ABC. 1) Semelhança ACH ~ ABC implica AC/AB = AH/AC ? AH = AC²/AB. 2) Semelhança CHB ~ ABC implica BC/AB = HB/BC ? HB = BC²/AB. 3) Para CH, usando semelhança ACH ~ CHB (ou relações anteriores): CH/AC = BH/BC = HB/BC, mas mais direto: de AH·HB = CH² (produto das projeções = CH²) ou multiplicando AH·AB = AC² e HB·AB = BC² e somando obtém-se AB·CH = AC·BC; rearranjando CH = (AC·BC)/AB. Assim obtem-se as três fórmulas AH = AC²/AB, HB = BC²/AB e CH = (AC·BC)/AB por argumentos de semelhança entre os triângulos retângulos formados pela altura.

Explicação

A demonstração utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações proporcionais entre os lados do triângulo retângulo e suas projeções. A partir dessas relações, é possível derivar as fórmulas para as projeções AH e HB, além da altura CH, utilizando propriedades geométricas fundamentais. A abordagem é clara e lógica, garantindo a validação das fórmulas apresentadas.

Raio-X da questão

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