Em um triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, a altura CH é traçada até a hipotenusa AB, encontrando H. Usando…

Questão

Em um triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, a altura CH é traçada até a hipotenusa AB, encontrando H. Usando semelhança de triângulos, deduza expressões para AH, BH e CH em função de AC, BC e AB; em seguida, a partir dessas relações, prove o Teorema de Pitágoras AC² + BC² = AB².

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere a altura CH em ?ABC (?C=90°). Observando semelhanças: ?ACH ~ ?CAB e ?BCH ~ ?CBA. Da semelhança ?ACH ~ ?CAB vem AC/AB = AH/AC, portanto AH = AC²/AB. Da semelhança ?BCH ~ ?CBA vem BC/AB = BH/BC, portanto BH = BC²/AB. Multiplicando as expressões para AH e BH: AH·BH = (AC²/AB)·(BC²/AB) = (AC·BC)²/AB², e como CH² = AH·BH (obtido por relações de semelhança), tem-se CH = (AC·BC)/AB. Como AH + BH = AB, substituindo as expressões obtidas: AC²/AB + BC²/AB = AB, ou (AC²+BC²)/AB = AB. Multiplicando ambos os lados por AB resulta AC² + BC² = AB², que é o Teorema de Pitágoras.

Explicação

A explicação utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações entre os segmentos AH, BH e CH, permitindo deduzir as expressões necessárias. A multiplicação das relações obtidas e a aplicação do Teorema de Pitágoras demonstram a equivalência entre as áreas e os comprimentos dos lados do triângulo. Assim, a conclusão de que AC² + BC² = AB² é validada por meio de deduções geométricas consistentes.

Raio-X da questão

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