Explique como a frequência dos passos em uma dança comunitária pode excitar modos de vibração de um piso de…

Questão

Explique como a frequência dos passos em uma dança comunitária pode excitar modos de vibração de um piso de madeira com frequência natural fn = 2,0 Hz. Considere passos com frequência f = 4,0 Hz; calcule ?n e ? e discuta condição de ressonância usando equações de oscilador forçado.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

A frequência natural fn = 2,0 Hz corresponde à pulsação ?n = 2p·fn = 2p·2,0 = 12,57 rad/s. A frequência de excitação f = 4,0 Hz tem pulsação ? = 2p·f = 2p·4,0 = 25,13 rad/s. Um oscilador linear é fortemente excitado quando a frequência de excitação aproxima-se da frequência natural (? ˜ ?n); a amplitude de regime estacionário pode ser escrita como A = (F0/m) / sqrt[(?n² - ?²)² + (2??n?)²], onde ? é o coeficiente adimensional de amortecimento. Aqui ? ? ?n (? = 2·?n), portanto não há ressonância no modo fundamental; contudo, estruturas possuem modos harmônicos (segundo modo, terceiro, etc.) com frequências próprias fn,k; se f coincidir com uma frequência modal (por exemplo o segundo modo com fn,2 ˜ 4,0 Hz), a excitação pode amplificar vibrações. Como 4,0 Hz = 2·2,0 Hz, existe possibilidade de excitação de um modo harmônico (ou excitação paramétrica) dependendo da geometria e não linearidades do piso. Com baixo amortecimento (? pequeno) mesmo excitação próxima a um harmônico provoca aumento da amplitude e tensões maiores na estrutura, podendo gerar ruído e risco estrutural. Conclusão prática: verificar modos próprios do piso (ensaios modal) e evitar passo com f coincidente a qualquer fn,k; aumentar amortecimento ou distribuir passo entre dançarinos reduz risco de ressonância.

Explicação

A explicação aborda a relação entre a frequência de excitação dos passos e a frequência natural do piso, utilizando conceitos de osciladores forçados para determinar a possibilidade de ressonância. A análise das pulsações e a identificação de modos harmônicos são essenciais para entender como a dança pode amplificar as vibrações do piso. A conclusão prática sugere medidas preventivas para evitar danos estruturais, considerando o comportamento dinâmico do sistema.

Raio-X da questão

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