Se A(1,1), B(4,1), C(1,5) e A'(2,2), B'(8,2), C'(2,10), determine se os triângulos ABC e A'B'C' são…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se A(1,1), B(4,1), C(1,5) e A'(2,2), B'(8,2), C'(2,10), determine se os triângulos ABC e A'B'C' são semelhantes e calcule a razão de semelhança.
- A) A razão de semelhança é 3, já que A'(2,2) está mais distante.
- B) Os triângulos são iguais devido à sua simetria.
- C) Os triângulos ABC e A'B'C' têm a mesma área e, portanto, são semelhantes.
- D) Os triângulos ABC e A'B'C' não podem ser semelhantes pois não possuem ângulos iguais.
- E) Sim. ABC ~ A'B'C'; razão de semelhança = 2.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Calcule os lados de ABC. AB = 4 - 1 = 3 (mesma ordenada 1). AC = distância de (1,1) a (1,5) = 4. BC = raiz de (4-1)^2 + (1-5)^2 = raiz de 25 = 5. Logo os lados são 3, 4 e 5. Passo 2: Calcule os lados de A'B'C'. A'B' = 8 - 2 = 6 (mesma ordenada 2). A'C' = 10 - 2 = 8 (mesma abscissa 2). B'C' = raiz de (8-2)^2 + (2-10)^2 = raiz de 100 = 10. Logo os lados são 6, 8 e 10. Passo 3: Verifique a proporcionalidade. 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2. Como os três lados são proporcionais, pelo critério LLL os triângulos são semelhantes, e a razão de semelhança de ABC para A'B'C' é 2. Passo 4: Confira as alternativas. A alternativa E está correta, pois afirma semelhança e razão 2. A alternativa A está errada, pois a razão é 2 e não 3; o fato de A' estar mais distante da origem não define a razão. A alternativa B está errada, pois os triângulos não são iguais (congruentes), já que os lados de A'B'C' são o dobro dos de ABC. A alternativa C está errada, pois a área de ABC é 3*4/2 = 6 e a de A'B'C' é 6*8/2 = 24; áreas iguais não existem aqui e, além disso, igualdade de área não implica semelhança. A alternativa D está errada, pois triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes iguais, e a proporcionalidade dos lados garante isso.
💡 Dica: Calcule as distâncias dos lados dos triângulos para verificar a semelhança.
Alternativa por alternativa
O aluno acha que a razão é o quanto um ponto está afastado da origem, confundindo a posição de A' com o fator de proporção dos lados. Ele não compara os comprimentos dos lados correspondentes.
O aluno acredita que triângulos com formas parecidas, ou com simetria visual, são iguais. Ele confunde semelhança (mesma forma, tamanhos proporcionais) com congruência (mesmo tamanho e forma).
O aluno supõe que, se duas figuras têm a mesma área, elas são semelhantes. Além disso, ele nem verifica se as áreas são iguais: a área de ABC é 6 e a de A'B'C' é 24.
Por que engana: Confundir a razão de semelhança com a distância entre os pontos, sem considerar as proporções dos lados dos triângulos.
O aluno acha que os triângulos não podem ser semelhantes sem verificar os ângulos um a um, por não terem ângulos iguais à primeira vista. Ele não sabe que a proporcionalidade dos lados garante a igualdade dos ângulos correspondentes.
Vetor AB=(3,0) e A'B'=(6,0); vetor AC=(0,4) e A'C'=(0,8). Ambos os vetores de A'B' e A'C' são exatamente 2 vezes os correspondentes em ABC, logo todos os lados são escalados por 2; triângulos semelhantes por dilatação (razão 2).
Raio-X da questão
semelhança de triângulos
avaliacao
semelhança de triângulos · coordenadas no plano cartesiano
Revisar as propriedades de semelhança de triângulos e cálculo de razões.
Confundir a razão de semelhança com a distância entre os pontos, sem considerar as proporções dos lados dos triângulos.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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