Sejam os triângulos ABC e DEF tais que AB = 3t+2, AC = 4t+1, DE = 10 e DF = 13 e sabe-se que ?A = ?D…

Questão

Sejam os triângulos ABC e DEF tais que AB = 3t+2, AC = 4t+1, DE = 10 e DF = 13 e sabe-se que ?A = ?D. Determine o valor de t, prove que ABC é semelhante a DEF e calcule a razão de semelhança. Apresente todos os passos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Queremos t tal que AB/DE = AC/DF, já que ?A = ?D e razões iguais dos pares de lados adjacentes implicam semelhança por SAS. Impondo (3t+2)/10 = (4t+1)/13: multiplicando em cruz, 13(3t+2)=10(4t+1) ? 39t+26=40t+10 ? 26-10=40t-39t ? t=16. Substituindo: AB=3·16+2=50 e AC=4·16+1=65; DE=10, DF=13. A razão AB/DE = 50/10 = 5 e AC/DF = 65/13 = 5; como ?A=?D e os dois pares de lados que formam esse ângulo têm razão comum 5, pelos critérios de semelhança (SAS), ABC ~ DEF. Portanto a razão de semelhança é 5 (cada lado de ABC é 5 vezes o correspondente em DEF).

Explicação

A solução utiliza o critério de semelhança SAS, que afirma que triângulos são semelhantes se dois pares de lados são proporcionais e o ângulo entre eles é igual. A equação estabelecida relaciona os lados dos triângulos, permitindo encontrar o valor de t e, consequentemente, as medidas dos lados. A razão de semelhança é confirmada ao verificar que os lados correspondentes têm a mesma proporção, resultando em uma razão comum.

Raio-X da questão

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