Considere um paralelepípedo retângulo com largura 6 cm, profundidade 8 cm e altura 10 cm. Seja A o vértice…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Associar prismas e pirâmides a suas planificações e analisar, nomear e comparar seus atributos, estabelecendo relações entre as representações planas e espaciais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere um paralelepípedo retângulo com largura 6 cm, profundidade 8 cm e altura 10 cm. Seja A o vértice inferior dianteiro esquerdo e B o vértice superior traseiro direito (diagonal espacial AB). a) Descreva as vistas ortogonais (frontal, superior e lateral direita) indicando como a diagonal AB aparece em cada vista. b) Calcule a medida da diagonal espacial AB e a medida de sua projeção na vista superior (diagonal da base). c) Determine o ângulo ? entre AB e sua projeção na vista superior.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
a) Vistas ortogonais: frontal mostra um segmento inclinando-se da base (altura 10) para o topo oposto com projeção horizontal de 8 cm; superior mostra a diagonal da base como segmento de 6 cm × 8 cm unindo cantos opostos (comprimento v(6²+8²)); lateral direita mostra a projeção vertical da diagonal com componente horizontal 6 cm e vertical 10 cm. Na prática, na vista superior AB projeta-se como a diagonal da base, na frontal aparece como segmento entre pontos com deslocamento horizontal 8 e vertical 10, e na lateral direita aparece com deslocamento horizontal 6 e vertical 10. b) Diagonal espacial: |AB| = v(6²+8²+10²) = v(36+64+100) = v200 = 10v2 cm ˜ 14,14 cm. Projeção na vista superior (diagonal da base): d = v(6²+8²) = v100 = 10 cm. c) Ângulo ? entre AB e sua projeção: cos? = (comprimento da projeção) / (comprimento de AB) = 10 / (10v2) = 1/v2 ? ? = 45°. Assim, descrever as vistas e calcular as distâncias e o ângulo por relações vetoriais ou trigonométricas resolve o problema.
Explicação
A descrição das vistas ortogonais permite visualizar a posição da diagonal AB em relação às dimensões do paralelepípedo, facilitando a compreensão de como ela se projeta em cada vista. O cálculo da diagonal espacial e da projeção na vista superior utiliza o Teorema de Pitágoras, garantindo precisão nas medidas. A determinação do ângulo entre AB e sua projeção é feita através da relação trigonométrica do cosseno, que relaciona as medidas obtidas, confirmando a consistência dos resultados.
Raio-X da questão
diagonal de paralelepípedo
avaliacao
teorema de pitágoras · projeção de figuras
Revisar as propriedades das diagonais em sólidos geométricos.
O aluno pode confundir a diagonal espacial com a diagonal da base, calculando apenas a medida da base do paralelepípedo.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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