No plano cartesiano, considere o círculo de centro O(0,0) e raio 5. Os pontos A(5,0), B(-3,4) e C(-3,-4)…

Questão

No plano cartesiano, considere o círculo de centro O(0,0) e raio 5. Os pontos A(5,0), B(-3,4) e C(-3,-4) pertencem à circunferência. a) Verifique que B e C pertencem ao círculo. b) Determine m?ABC (em graus), justificando por relações entre ângulos inscritos e centrais e por cálculos com coordenadas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Verificação: OB = v((-3)^2+4^2)=v(9+16)=v25=5; OC = v((-3)^2+(-4)^2)=5. Como OA=5, B e C pertencem ao círculo de raio 5. b) Vetores OA=(5,0) e OC=(-3,-4). Produto escalar: OA·OC = 5·(-3)+0·(-4)=-15. Normas: |OA|=|OC|=5 ? cos(?AOC)=-15/(5·5)=-3/5. Assim ?AOC = arccos(-3/5) ˜126.8699°. O ângulo inscrito ?ABC que subtende o arco AC vale metade do central: m?ABC = ½·m?AOC ˜63.4349° (˜63.43°).

Explicação

A verificação da pertença dos pontos B e C ao círculo é feita através do cálculo da distância do centro O a esses pontos, confirmando que estão a 5 unidades de distância. O cálculo do ângulo central AOC utilizando o produto escalar e as normas dos vetores permite determinar a medida do ângulo inscrito ABC, que é metade do ângulo central. Essa relação entre ângulos inscritos e centrais é uma propriedade fundamental da geometria dos círculos, garantindo a precisão do resultado final.

Raio-X da questão

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