Um polígono regular de n lados está inscrito numa circunferência de centro O. Vértices consecutivos são…

Questão

Um polígono regular de n lados está inscrito numa circunferência de centro O. Vértices consecutivos são V0,V1,...,V_{n-1}. Do vértice V0 saem segmentos até V3 e V8. O ângulo inscrito em V0 formado por esses segmentos mede 45°. Determine n.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

O ângulo inscrito em V0 intercepta o arco entre V3 e V8 que contém 5 lados consecutivos. A medida desse arco é 5·(360°/n). A medida do ângulo inscrito é metade da medida do arco interceptado, portanto: 45° = (1/2)·5·(360°/n) = 5·180°/n = 900°/n. Logo n = 900°/45° = 20. Assim, o polígono regular tem 20 lados.

Explicação

O ângulo inscrito em V0 é determinado pela quantidade de lados do polígono que estão entre os vértices V3 e V8, o que equivale a 5 lados. A relação entre o ângulo inscrito e o arco interceptado permite calcular o número total de lados do polígono, utilizando a fórmula do ângulo inscrito. Assim, ao resolver a equação resultante, encontramos que o polígono possui 20 lados.

Raio-X da questão

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