Considere uma circunferência de centro O com um polígono regular inscrito de n = 11 lados, com vértices…

Questão

Considere uma circunferência de centro O com um polígono regular inscrito de n = 11 lados, com vértices consecutivos A1,A2,...,A11. a) Mostre a relação entre ângulo central e ângulo inscrito para um arco formado por A1 e A3. b) Calcule numericamente o ângulo central subtendido por A1A3, o ângulo inscrito correspondente e o ângulo interno do polígono (em graus).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Em geral, o ângulo inscrito que intercepta um arco mede metade do ângulo central que subtende o mesmo arco: ?inscrito = (1/2)·?central. b) Para n=11, ângulo central entre vértices adjacentes = 360°/11. O arco de A1 a A3 abrange dois lados ? ângulo central subtendido = 2·(360°/11) = 720°/11 ˜ 65,4545°. O ângulo inscrito que intercepta esse arco = (1/2)·720°/11 = 360°/11 ˜ 32,7273°. O ângulo interno do polígono = 180° - 360°/11 = 1620°/11 ˜ 147,2727°. (Expressões exatas: central A1A3 = 720/11°, inscrito = 360/11°, interno = 1620/11°.)

Explicação

A relação entre ângulo central e ângulo inscrito é uma propriedade fundamental da geometria, onde o ângulo inscrito é sempre metade do ângulo central que intercepta o mesmo arco. O cálculo do ângulo central para o arco A1A3 envolve multiplicar o ângulo central entre vértices adjacentes pelo número de lados abrangidos, enquanto o ângulo interno do polígono é obtido subtraindo o ângulo central do total de 180°. Os valores numéricos obtidos para os ângulos confirmam essas relações e propriedades.

Raio-X da questão

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