Numa circunferência de centro O, os pontos A, B e C são distintos e B está sobre o arco AC. Sabendo que a…

Questão

Numa circunferência de centro O, os pontos A, B e C são distintos e B está sobre o arco AC. Sabendo que a medida do arco AC é 140°, mostre, com demonstração, que o ângulo inscrito ?ABC mede 70°. Justifique a relação entre arco, ângulo central e ângulo inscrito usada.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Se m(arc AC)=140°, então o ângulo central ?AOC que subtende o arco AC tem medida 140° (definição: ângulo central = medida do arco). Seja B um ponto no arco AC; ligue O a A, B e C. Como OA=OB=OC (raios), nos triângulos isósceles OAB e OBC temos ?OAB=?OBA=a e ?OCB=?OBC=ß. O ângulo inscrito ?ABC = ?OBA+?OBC = a+ß. O ângulo central ?AOC = ?AOB+?BOC = 2a+2ß = 2(a+ß). Logo ?AOC = 2·?ABC, portanto ?ABC = (1/2)·?AOC = (1/2)·140° = 70°. Assim m(?ABC)=70°.

Explicação

A relação entre o ângulo central e o ângulo inscrito é fundamental na geometria das circunferências, onde o ângulo central é sempre o dobro do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco. Isso ocorre porque o ângulo central é formado por dois raios que se encontram no centro da circunferência, enquanto o ângulo inscrito é formado por dois segmentos que se encontram na circunferência. Assim, ao aplicar essa relação, a medida do ângulo inscrito ?ABC é obtida como metade da medida do arco AC, resultando em 70°.

Raio-X da questão

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