Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D aparecem nessa ordem no sentido horário. As cordas AB…

Questão

Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D aparecem nessa ordem no sentido horário. As cordas AB e CD são paralelas. Sabe-se que o arco menor AB mede 4x + 8 graus, o arco menor BC mede 3x + 14 graus e o ângulo inscrito ?ABC mede 4x + 9 graus. Determine o valor de x, as medidas dos arcos AB, BC, CD e DA e as medidas do ângulo central ?AOC e do ângulo inscrito ?ADC. Justifique os passos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como AB ? CD, as cordas paralelas interceptam arcos congruentes, logo arco CD = arco AB = 4x + 8°. 2) O ângulo inscrito ?ABC intercepta o arco AC, cujo comprimento é arco AB + arco BC = (4x+8) + (3x+14) = 7x + 22°. Pelo teorema do ângulo inscrito: ?ABC = (1/2)·arco AC. Assim, (1/2)(7x + 22) = 4x + 9. 3) Multiplicando por 2: 7x + 22 = 8x + 18 ? 22 - 18 = 8x - 7x ? x = 4. 4) Substituindo x = 4: arco AB = 4·4 + 8 = 24°; arco BC = 3·4 + 14 = 26°; arco CD = 24°. 5) Soma dos quatro arcos = 360°, então arco DA = 360 - (AB + BC + CD) = 360 - (24 + 26 + 24) = 360 - 74 = 286°. 6) O arco AC = AB + BC = 24° + 26° = 50°. O ângulo central ?AOC que intercepta o arco AC tem medida igual ao arco: ?AOC = 50°. 7) O ângulo inscrito ?ADC também intercepta o arco AC; portanto ?ADC = (1/2)·arco AC = 25°. Conclusões: x = 4; arcos AB = 24°, BC = 26°, CD = 24°, DA = 286°; ?AOC = 50°; ?ADC = 25°.

Explicação

A solução utiliza propriedades de arcos e ângulos em uma circunferência, como a congruência de arcos interceptados por cordas paralelas e a relação entre ângulos inscritos e arcos que interceptam. A determinação de x é feita através da equação que relaciona o ângulo inscrito e o arco correspondente, levando ao cálculo das medidas dos arcos e ângulos centrais. Por fim, a soma dos arcos é verificada para garantir que totaliza 360°, confirmando a consistência dos resultados.

Raio-X da questão

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