Dado o triângulo ABC com A(0,0), B(6,0) e C(0,8): a) determine a equação da mediatriz do segmento AB; b)…

Questão

Dado o triângulo ABC com A(0,0), B(6,0) e C(0,8): a) determine a equação da mediatriz do segmento AB; b) determine a equação da bissetriz interna do ângulo ?A; c) calcule as coordenadas do ponto P de interseção entre essas duas retas e interprete geometricamente esse ponto em relação a A e B.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Segmento AB tem extremos A(0,0) e B(6,0). O ponto médio é M((0+6)/2, (0+0)/2) = (3,0). A reta AB é horizontal (coeficiente angular 0), portanto a mediatriz é a reta perpendicular vertical que passa por M: equação x = 3. b) Os vetores das semirretas que formam ?A são AB ao longo do eixo x positivo e AC ao longo do eixo y positivo; ?A é de 90°. A bissetriz interna de um ângulo reto forma 45° com cada lado, portanto é a reta y = x que parte de A(0,0). c) Interseção entre x = 3 e y = x dá P = (3,3). Geometricamente, P está na mediatriz de AB, então PA = PB (distâncias iguais); verifica-se PA = v(3²+3²) = v18 e PB = v((6-3)²+(0-3)²) = v18. Como P também está na bissetriz de ?A, está equidistante das semirretas que formam o ângulo em A. Assim, P é um ponto que equidista dos pontos A e B e fica na direção bissetriz do ângulo em A.

Explicação

A mediatriz do segmento AB é uma reta vertical que passa pelo ponto médio, garantindo que qualquer ponto nessa reta esteja a igual distância de A e B. A bissetriz interna do ângulo em A forma um ângulo de 45° com os lados do ângulo, representando todos os pontos que estão equidistantes das semirretas que formam o ângulo. A interseção das duas retas resulta em um ponto que é equidistante de A e B e está na direção da bissetriz, evidenciando sua posição especial em relação ao triângulo.

Raio-X da questão

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