Duas retas r e s são paralelas e cortam uma circunferência nos pontos A,B (em r) e C,D (em s), nessa ordem ao…

Questão

Duas retas r e s são paralelas e cortam uma circunferência nos pontos A,B (em r) e C,D (em s), nessa ordem ao redor da circunferência. Prove que a medida do arco AB é igual à medida do arco CD.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como A e B pertencem à reta r, o segmento AB é contido em r; como C e D pertencem à reta s, o segmento CD é contido em s. Logo, os cordões AB e CD são paralelos. Considere o ângulo inscrito ?ACB (vértice em C), que subtende o arco AB, e o ângulo inscrito ?CAD (vértice em A), que subtende o arco CD. A reta AC corta as paralelas r e s nos pontos A e C; portanto, o ângulo que o segmento AC forma com r em A é igual ao ângulo que AC forma com s em C (correspondentes entre paralelas). Esses ângulos são exatamente ?CAD e ?ACB, logo ?CAD = ?ACB. Como medidas de ângulos inscritos valem metade das medidas dos arcos que subtendem, temos med(arc CD) = 2·?CAD e med(arc AB) = 2·?ACB. Assim med(arc AB) = med(arc CD), como era para demonstrar.

Explicação

A demonstração utiliza a propriedade dos ângulos correspondentes formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, mostrando que os ângulos inscritos que subtendem os arcos são iguais. Isso implica que as medidas dos arcos subtendidos também são iguais, pois a medida de um arco é o dobro da medida do ângulo inscrito correspondente. Assim, a igualdade entre as medidas dos arcos AB e CD é estabelecida de forma clara e lógica.

Raio-X da questão

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