Considere x tal que x^2 = 5. Avalie se x é racional ou irracional e apresente demonstração.

Questão

Considere x tal que x^2 = 5. Avalie se x é racional ou irracional e apresente demonstração.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Suponha, por contradição, que x é racional: x = p/q com p,q inteiros sem fator comum e q>0. Então p^2 = 5q^2, logo 5 | p^2 ? 5 | p. Escreva p = 5k; então 25k^2 = 5q^2 ? 5k^2 = q^2, assim 5 | q. Isso contradiz a hipótese que p e q são primos entre si. Logo x não é racional; x é irracional (±v5).

Explicação

A demonstração utiliza o método da contradição, assumindo que x é racional e levando a uma conclusão que contradiz a hipótese inicial de que p e q não têm fatores comuns. A conclusão de que x não pode ser racional se baseia na propriedade dos números inteiros e na divisibilidade, mostrando que tanto p quanto q devem ser múltiplos de 5, o que é impossível se forem coprimos. Portanto, a única possibilidade restante é que x seja irracional.

Raio-X da questão

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