Durante um dia ensolarado, a sombra de uma árvore de 3 metros de altura é de 4 metros. Calcule o ângulo de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante um dia ensolarado, a sombra de uma árvore de 3 metros de altura é de 4 metros. Calcule o ângulo de elevação do Sol em relação ao solo usando a tangente.
- A) 36,87°
- B) 45°
- C) 53,13°
- D) 60°
- E) 30°
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o triângulo retângulo formado pela árvore, sua sombra e o raio de sol que vai do topo da árvore até a extremidade da sombra. A altura da árvore (3 m) é o cateto oposto ao ângulo de elevação, e a sombra (4 m) é o cateto adjacente.
- Escreva a relação da tangente: tg(θ) = cateto oposto / cateto adjacente = 3/4 = 0,75.
- Calcule o ângulo cuja tangente é 0,75, isto é, θ = arctg(0,75) = arctg(3/4). Com calculadora no modo graus, obtém-se θ ≈ 36,87°.
- Conclusão: a alternativa correta é a A (36,87°), que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a B (45°) exigiria tangente igual a 1, ou seja, altura igual à sombra, o que não ocorre aqui. A C (53,13°) é o complementar de 36,87°, obtido ao inverter a razão (4/3). A D (60°) tem tangente igual a raiz de 3, que não corresponde a 3/4. A E (30°) tem tangente igual a raiz de 3 sobre 3, aproximadamente 0,577, também diferente de 0,75.
💡 Dica: Use a relação da tangente para encontrar o ângulo.
Alternativa por alternativa
O cálculo resulta em 36,87°, que é o ângulo de elevação.
Assume que, por ser um dia ensolarado, o ângulo de elevação do Sol é de 45°, ou trata a razão 3/4 como se os dois catetos fossem iguais. Ignora que a tangente de 45° é 1, enquanto aqui a razão é 0,75.
Inverte a razão trigonométrica, usando sombra/altura (4/3) em vez de altura/sombra. Obtém arctg(4/3) = 53,13°, que é o ângulo complementar do correto.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os lados do triângulo, utilizando a função seno ou cosseno em vez da tangente.
Memoriza ângulos notáveis sem fazer o cálculo e associa a tangente do ângulo a valores como raiz de 3, que correspondem a 60°. Não percebe que a razão 3/4 não é raiz de 3.
Confunde a tangente com o seno ou usa o ângulo notável de 30° por memorização, sem verificar se tg(30°) = raiz de 3 / 3, cerca de 0,577, corresponde a 3/4 = 0,75.
Raio-X da questão
ângulo de elevação
avaliacao
tangente de um ângulo · triângulos retângulos
Revisar a definição e aplicação da tangente em triângulos retângulos.
O aluno pode confundir a relação entre os lados do triângulo, utilizando a função seno ou cosseno em vez da tangente.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cotidiano
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