Uma cooperativa de agricultura urbana instalará uma placa triangular na entrada de uma horta comunitária. O…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa de agricultura urbana instalará uma placa triangular na entrada de uma horta comunitária. O projeto determina que a placa tenha formato de triângulo equilátero, com cada lado medindo 10 m. Para fixar a estrutura, será necessário conhecer a medida da altura relativa a um dos lados. Em um triângulo equilátero, essa altura divide a base em dois segmentos iguais e forma dois triângulos retângulos congruentes. Com base nas informações do projeto, qual é a medida da altura da placa triangular?
- A) 5√2 m
- B) 10 m
- C) 5√5 m
- D) 5 m
- E) 5√3 m
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. O triângulo é equilátero, com lado l = 10 m, e a altura h divide a base em dois segmentos iguais de 5 m cada.
- Aplique o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado por metade da base (5 m), pela altura (h) e pelo lado inclinado (10 m): 10^2 = 5^2 + h^2.
- Calcule: 100 = 25 + h^2, logo h^2 = 75 e h = raiz de 75.
- Simplifique a raiz: raiz de 75 = raiz de (25 x 3) = 5 raiz de 3, ou seja, h = 5√3 m.
- Conclusão. A alternativa correta é a E, 5√3 m, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A (5√2 m) está errada porque o fator 2 não aparece na relação de Pitágoras deste caso. A alternativa B (10 m) está errada porque seria o próprio lado, e a altura é sempre menor que o lado no triângulo equilátero. A alternativa C (5√5 m) está errada porque 5√5 corresponderia a raiz de 125, valor que não resulta de 100 - 25. A alternativa D (5 m) está errada porque é apenas a metade da base, não a altura.
💡 Dica: Use a fórmula da altura de um triângulo equilátero.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tratou a altura como a diagonal de um quadrado de lado 5 m ou aplicou mal o teorema, obtendo h^2 = 50, o que confunde a relação de Pitágoras com a de um triângulo retângulo isósceles.
O aluno confundiu a altura com o próprio lado do triângulo, supondo que as medidas dos lados e da altura são iguais, o que não vale em nenhum triângulo equilátero com altura traçada a partir de um vértice.
Por que engana: O aluno pode confundir a altura com a base do triângulo, utilizando o valor da base como se fosse a altura.
O aluno errou ao calcular h^2 como 100 + 25 ou 125, somando em vez de subtrair o quadrado da metade da base do quadrado do lado, o que dá h = raiz de 125 = 5√5.
O aluno tomou a metade da base (5 m) como sendo a altura, sem perceber que a altura é o cateto perpendicular à base e que precisa ser calculada pelo teorema de Pitágoras.
A altura divide o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos. Em cada um deles, a hipotenusa mede 10 m e um dos catetos mede 5 m, pois a base foi dividida ao meio. Pelo teorema de Pitágoras, h² + 5² = 10². Assim, h² = 100 − 25 = 75, portanto h = √75 = 5√3 m.
Raio-X da questão
altura de triângulo equilátero
avaliacao
propriedades do triângulo equilátero · teorema de Pitágoras
Revisar a fórmula da altura de triângulos equiláteros.
O aluno pode confundir a altura com a base do triângulo, utilizando o valor da base como se fosse a altura.
tomada_decisao
cotidiano
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