Um arquiteto está projetando um telhado triangular. A base do telhado mede 8 m, e um dos lados inclinados mede…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um arquiteto está projetando um telhado triangular. A base do telhado mede 8 m, e um dos lados inclinados mede 6 m. Esse lado inclinado forma um ângulo de 45° com a base. Qual é a altura do telhado em relação à base de 8 m?
- A) 4√2 m
- B) 3√2 m
- C) 6 m
- D) 6√2 m
- E) 3 m
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. A base do telhado mede 8 m, um lado inclinado (a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela altura) mede 6 m e forma 45° com a base. A altura pedida é o cateto oposto ao ângulo de 45° nesse triângulo retângulo.
- Escolha a razão trigonométrica certa. A altura é o cateto oposto ao ângulo de 45°, e a hipotenusa é o lado de 6 m. Logo, usamos o seno: sen(45°) = altura / 6.
- Calcule. Sabemos que sen(45°) = raiz de 2 / 2. Então altura = 6 x raiz de 2 / 2 = 3 x raiz de 2 m, aproximadamente 4,24 m.
- Confira a coerência. O pé da altura fica a 6 x cos(45°) = 3 x raiz de 2 m de um dos vértices da base, o que é menor que 8 m. Logo, a altura cabe dentro da base e o triângulo existe.
- Compare com o gabarito. A resposta 3 x raiz de 2 m corresponde à alternativa B, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 4 x raiz de 2 m equivale a 8 x sen(45°), usando a base no lugar da hipotenusa. B) é a correta. C) 6 m é o próprio lado inclinado, que não é a altura. D) 6 x raiz de 2 m resulta de dividir 6 por sen(45°) em vez de multiplicar. E) 3 m supõe um ângulo de 30° ou apenas metade do lado inclinado, não o ângulo de 45° do enunciado.
💡 Dica: Utilize a fórmula da área do triângulo para encontrar a altura.
Alternativa por alternativa
O aluno usou a base de 8 m no lugar da hipotenusa, calculando 8 x sen(45°) = 4 x raiz de 2. Ele não identificou que a altura depende do lado inclinado de 6 m.
A altura corresponde à componente perpendicular do lado de 6 m em relação à base. Assim, h = 6 · sen(45°). Como sen(45°) = √2/2, temos h = 6 · √2/2 = 3√2 m.
O aluno acredita que o lado inclinado de 6 m já é a altura do telhado. Ele confunde a hipotenusa do triângulo retângulo com o cateto perpendicular à base.
O aluno calculou 6 / sen(45°) = 6 x raiz de 2, dividindo pelo seno em vez de multiplicar. Ele não sabe qual operação isola a altura na relação do seno.
O aluno trocou o ângulo de 45° por 30° ou tomou metade do lado inclinado, obtendo 6 / 2 = 3 m. Ele não aplicou a função trigonométrica correspondente ao ângulo dado.
Raio-X da questão
altura de triângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · propriedades de triângulos
Revisar a fórmula da área do triângulo e como calcular a altura.
Confundir a altura do triângulo com a medida de um dos lados, escolhendo uma alternativa que representa um lado e não a altura.
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tomada_decisao
cientifico
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