Explique como a irracionalidade de v2 pode ser demonstrada. Use argumentos lógicos e matemáticos para apoiar…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Questão
Explique como a irracionalidade de v2 pode ser demonstrada. Use argumentos lógicos e matemáticos para apoiar sua explicação.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
A irracionalidade de v2 é demonstrada por contradição. Suponha que v2 seja racional, ou seja, pode ser expresso como p/q, onde p e q são inteiros coprimos. Elevando ao quadrado, 2 = p²/q², logo p² = 2q². Isso implica que p² é par, logo p também é par. Se p=2k, substituindo, temos 4k² = 2q², então q² é par e q é par. Assim, p e q têm 2 como fator comum, contradizendo a suposição de que são coprimos. Portanto, v2 é irracional.
Explicação
A demonstração utiliza o método da contradição, partindo da suposição de que a raiz quadrada de 2 é racional. A conclusão de que tanto p quanto q devem ser pares leva a um paradoxo, pois isso contradiz a condição de que p e q são coprimos. Portanto, a irracionalidade de v2 é confirmada, pois não pode ser expressa como uma fração de inteiros coprimos.
Raio-X da questão
irracionalidade de raízes quadradas
avaliacao
propriedades de raízes quadradas · números racionais e irracionais
Revisar a prova por contradição e propriedades dos números irracionais.
O aluno pode confundir a definição de números racionais e irracionais, argumentando que a raiz quadrada de 2 é um número racional por não entender a prova por contradição.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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