Um gnômon de 2 metros projeta uma sombra de 1,5 metros ao meio-dia. Qual é o ângulo de inclinação do sol em…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um gnômon de 2 metros projeta uma sombra de 1,5 metros ao meio-dia. Qual é o ângulo de inclinação do sol em relação ao solo?
- A) 53,13°
- B) 45°
- C) 60°
- D) 30°
- E) 90°
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o triângulo retângulo formado pelo gnômon (altura de 2 metros), pela sombra projetada no solo (1,5 metros) e pelo raio de sol que vai da ponta do gnômon até o final da sombra. O gnômon é vertical, logo é perpendicular ao solo, e o ângulo reto está na base do gnômon.
- O ângulo de inclinação do sol em relação ao solo é o ângulo formado entre o raio de sol e a sombra, na extremidade final da sombra. Em relação a esse ângulo, o cateto oposto é a altura do gnômon (2 m) e o cateto adjacente é a sombra (1,5 m).
- Use a tangente: tan(θ) = cateto oposto / cateto adjacente = 2 / 1,5 = 4/3, que é aproximadamente 1,3333.
- Calcule o arco tangente: θ = arctan(4/3) ≈ 53,13°. Esse valor também corresponde ao ângulo de um triângulo retângulo 3-4-5, já que a hipotenusa mede 2,5 m (raiz de 2^2 + 1,5^2 = raiz de 6,25 = 2,5), o que confirma o resultado.
- Conclusão: a alternativa correta é a A, 53,13°, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa B está errada, pois 45° exigiria sombra igual à altura. A alternativa C está errada, pois 60° implicaria sombra menor que a altura em proporção de 1 para raiz de 3. A alternativa D está errada, pois 30° daria uma sombra bem maior que a altura. A alternativa E está errada, pois 90° significaria sol a pino, sem sombra.
💡 Dica: Utilize a tangente do ângulo para resolver a questão.
Alternativa por alternativa
O cálculo de arctan(2/1.5) resulta em aproximadamente 53,13°.
O aluno supõe que a sombra e a altura do gnômon têm o mesmo comprimento, criando um triângulo isósceles e ignorando os dados do enunciado.
O aluno associa o problema a ângulos notáveis de triângulos equiláteros ou memoriza tan(60°) sem calcular a razão entre os catetos.
Por que engana: Confundir o cálculo do ângulo usando a tangente, confundindo catetos oposto e adjacente na relação trigonométrica.
O aluno escolhe 30° por um chute entre valores notáveis da tabela, sem calcular a razão entre altura e sombra e sem verificar se o ângulo faz sentido com a sombra ser menor que a altura.
O aluno acredita que ao meio-dia o sol está sempre a pino, ou seja, perpendicular ao solo, usando a intuição do dia a dia, mesmo havendo sombra de 1,5 metros.
Raio-X da questão
ângulo de inclinação do sol
avaliacao
trigonometria básica · funcoes trigonométricas
Revisar a relação entre altura e sombra em triângulos retângulos.
Confundir o cálculo do ângulo usando a tangente, confundindo catetos oposto e adjacente na relação trigonométrica.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cotidiano
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