Questão plano cartesiano: 6 exemplos com gabarito comentado

Quando comecei a dar aulas de plano cartesiano, perdi muito tempo procurando questões que realmente cobrissem o conteúdo, sem serem apenas cálculos repetitivos. Com o tempo, percebi que o que faltava era variedade: questões de distância, de equação linear, de padrões em tabelas e de funções quadráticas contextualizadas.

Nesta página reuni seis questões reais da base do GeraProva, cada uma com enunciado, alternativas comentadas e dicas de resolução. Use como ponto de partida para a sua próxima lista ou prova.

O que é uma questão de plano cartesiano?

Uma questão de plano cartesiano é um exercício que usa pares ordenados (x, y) para representar pontos, retas, parábolas ou triângulos. O aluno precisa interpretar gráficos, calcular distâncias, identificar equações ou prever padrões a partir de tabelas. No GeraProva, as questões desse tema são classificadas por dificuldade, nível de Bloom e código BNCC, o que ajuda o professor a escolher exatamente o que quer avaliar. Em nossa base, há exemplos que vão de associar uma equação linear a uma reta até interpretar um contorno parabólico em um contexto de instalação artística.

Como resolver questões de plano cartesiano passo a passo?

Na minha experiência, o erro mais comum não é de cálculo, e sim de leitura. O aluno olha o gráfico ou a tabela e não sabe qual informação usar. Por isso, ensino sempre a mesma sequência:

• Identifique os dados: pontos, eixos, tabela ou descrição.
• Escolha a ferramenta: distância entre pontos, equação da reta, padrão numérico ou forma da função.
• Calcule com cuidado: confira sinais e coordenadas.
• Confira a alternativa: teste o resultado nos dados originais.

Essa rotina reduz muito os erros de interpretação. Você pode começar com as questões mais fáceis e subir o nível aos poucos.

Quais questões de plano cartesiano usar em sala?

A combinação ideal mistura questões de diferentes níveis de Bloom. Questões de aplicação ajudam a fixar a fórmula; as de análise e avaliação mostram se o aluno realmente entendeu o conceito. Abaixo estão seis exemplos completos. Para cada um, você verá o raciocínio correto e o motivo de cada distrator estar errado, o que é ótimo para discutir com a turma.

Questões prontas com gabarito comentado

Questão 1: parábola em uma instalação artística

— Para repetir o traçado em outros painéis, precisamos de uma regra que funcione para qualquer medida lateral — explicou a designer responsável por uma instalação artística fictícia. No esboço, ela adotou um plano cartesiano cuja origem coincide com o ponto central da base do painel. A coordenada x, em centímetros, indica o deslocamento horizontal a partir desse centro, e y indica a altura do contorno decorativo. Para cada posição, a equipe calcula y=2x^2. Assim, ao usar valores positivos ou negativos de x com o mesmo módulo, obtém alturas iguais. O desenho será enviado aos profissionais que farão o recorte do contorno.

Analise a regra usada no esboço e identifique a representação geométrica do contorno no plano cartesiano.

• ✅ A) Um gráfico em forma de parábola, aberto para cima, com vértice na origem e simétrico em relação ao eixo y. — Como o coeficiente de x^2 é positivo e não há termos constantes ou lineares, o gráfico é uma parábola com vértice na origem e eixo de simetria y.
• ❌ B) Um gráfico em forma de reta, crescente, que passa pela origem e tem inclinação 2. — Erro de classificação: a presença de x^2 caracteriza uma função quadrática, e não uma função linear.
• ❌ C) Um gráfico em forma de parábola, aberto para baixo, com vértice na origem e simétrico em relação ao eixo y. — Erro de sinal: associar um coeficiente positivo de x^2 a uma parábola aberta para baixo.
• ❌ D) Um gráfico em forma de parábola, aberto para cima, com vértice na origem e simétrico em relação ao eixo x. — Erro de orientação dos eixos: em y=2x^2, valores opostos de x produzem o mesmo y, indicando simetria em relação ao eixo y.
• ❌ E) Um gráfico em forma de parábola, aberto para cima, com vértice no ponto (0,2) e simétrico em relação ao eixo y. — Erro de interpretação do coeficiente: o número 2 multiplica x^2 e não indica a altura do vértice.

Dica de resolução: analise a função dada e relacione com a forma geométrica no plano cartesiano. Conceito central: função quadrática e parábola. Conceito para revisão: estude funções quadráticas e suas representações gráficas. BNCC: EM13MAT402. Bloom: Aplicar.

Questão 2: dois quadrados sobrepostos no plano

A figura indica dois quadrados, ABCD e AEFG, no plano cartesiano de eixos ortogonais. Os pontos A(0, 1) e P(x, y) são pontos comuns aos dois quadrados, e os vértices B e E têm coordenadas (6, 0) e (2, 0), respectivamente. [IMAGEM] Nessas condições, a ordenada do ponto P é UNESP - 2025

• ❌ A) -34/25 — O valor 34/25 é incorreto porque não respeita as proporções resultantes das relações geométricas e algébricas entre as coordenadas dos pontos comuns aos dois quadrados. O cálculo correto envolve sistemas de equações e o uso da distância entre os pontos A e E, e essas equações conduzem a outro resultado.
• ❌ B) -33/25 — 33/25 não resulta da resolução adequada do sistema formado pelo uso das coordenadas dos vértices dados e das propriedades de quadrados sobrepostos. O erro típico aqui é confundir as operações de média, distância ou usar apenas partes das informações fornecidas.
• ❌ C) -13/10 — 13/10 é erro comum resultante de má aplicação das fórmulas de distância, simetria ou proporção dos quadrados. Ao utilizar corretamente as características e a montagem do sistema, chega-se a outra fração. Esta opção ignora um dos vínculos determinados pela posição dos pontos.
• ✅ D) -17/13 — Os quadrados ABCD e AEFG compartilham os pontos A(0,1) e P(x,y). Os lados AB e AE estão sobre y=0: B(6,0), E(2,0), com lados 6 e 2. O ponto P é a interseção dos quadrados, obtida pela geometria analítica e pelo sistema de equações das retas dos lados comuns, levando a y=17/13.
• ❌ E) -27/20 — 27/20 surge em geral de erro de cálculo algébrico na solução do sistema envolvido, ou em manipulação incorreta das fórmulas das diagonais e lados dos quadrados. O valor não respeita todas as restrições e condições impostas pelas localizações dos vértices sobrepostos e dos eixos.

Dica de resolução: use as propriedades dos quadrados e coordenadas para montar equações e encontrar y. Conceito central: coordenadas, quadrados, geometria analítica. Conceito para revisão: estude propriedades dos quadrados e cálculo de coordenadas no plano cartesiano. BNCC: EM13MAT305. Bloom: Analisar.

Questão 3: linha de segurança de uma cortadora a laser

— A linha de segurança aparece bem nítida na tela — disse a técnica ao configurar uma cortadora a laser em um espaço de fabricação. No monitor, a área de trabalho é representada por um plano cartesiano, em que cada unidade corresponde a 1 cm.

O manual do equipamento informa que essa linha é uma reta que limita o movimento do laser e, por isso, precisa ser cadastrada no programa na forma de uma equação linear com duas incógnitas (x e y). Para conferir se a reta está correta, a técnica observou dois pontos onde ela cruza os eixos do gráfico: no eixo x, ela passa pelo ponto em que x = 8 (logo, y = 0) e, no eixo y, ela passa pelo ponto em que y = 4 (logo, x = 0).

Com esses dados, ela deve escolher a equação que representa essa reta.

• ❌ A) x + y = 8 — Erro de supor coeficientes iguais: com (0,4), dá 4 != 8, então não cruza o eixo y em 4 como descrito.
• ✅ B) x + 2y = 8 — Satisfaz (8,0): 8+0=8 e (0,4): 0+2*4=8, logo representa a reta que cruza os dois eixos nesses pontos.
• ❌ C) x - 2y = 8 — Erro de sinal no termo de y: com (0,4), dá -8 != 8, levando a intercepto em y negativo.
• ❌ D) x + 2y = 12 — Erro de manter a inclinação e alterar o termo constante: com (8,0), dá 8 != 12, mudando o intercepto no eixo x.
• ❌ E) 2x + y = 8 — Erro de trocar os coeficientes: com (0,4), resulta 4 != 8, então não passa pelo ponto do eixo y informado.

Dica de resolução: use os pontos dados para montar a equação da reta no plano cartesiano. Conceito central: equação linear com duas incógnitas. Conceito para revisão: estude como encontrar a equação da reta a partir de pontos de interseção com os eixos. BNCC: EF08MA07. Bloom: Avaliar.

Questão 4: triângulo com vértices no plano cartesiano

No plano cartesiano, considere os pontos A(2,1), B(10,5) e C(6,13). Calcule as distâncias AB, BC e AC e verifique se o triângulo ABC é retângulo; identifique o vértice do ângulo reto.

• ❌ A) AB = 10 ; BC = 5 ; AC = 15 — As distâncias não estão certas, não correspondendo às coordenadas e cálculos dados.
• ✅ B) AB = 4√5, BC = 4√5, AC = 4√10; o triângulo é retângulo em B. — AB=√(8^2+4^2)=√80=4√5; BC=√((-4)^2+8^2)=√80=4√5; AC=√(4^2+12^2)=√160=4√10. Como AB^2+BC^2=80+80=160=AC^2, o ângulo em B é reto (Teorema de Pitágoras).
• ❌ C) AB = 4 ; BC = 4 ; AC = 8 — Valores totalmente errados, pois não refletem as distâncias corretas dos pontos no plano.
• ❌ D) AB = 8 ; BC = 8 ; AC = 16 — As distâncias são incorretas, pois não correspondem ao cálculo certo no triângulo.
• ❌ E) AB = 16√5 ; BC = 16√5 ; AC = 32√10 — As medidas estão exageradas e completamente erradas em relação aos cálculos originais.

Dica de resolução: calcule as distâncias usando a fórmula da distância entre dois pontos. Conceito central: distância entre pontos. Conceito para revisão: revisar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. BNCC: EF08MA14. Bloom: Analisar.

Questão 5: padrão quadrático em molduras de um painel

— Cada nova moldura amplia igualmente os quatro lados do painel, sem retirar peças já colocadas — explicou a mediadora durante uma simulação de montagem para uma exposição cultural. Na etapa inicial, o painel tinha uma única peça quadrada. A cada etapa, acrescentava-se uma moldura ao redor da composição anterior, formando um novo quadrado.

Os registros da montagem foram organizados assim:

Etapa: 0 | 1 | 2 | 3 | 4 — Total de peças: 1 | 9 | 25 | 49 | 81

A mediadora representará cada registro por um ponto cujo primeiro valor indica a etapa e cujo segundo valor indica o total de peças. Antes de concluir a montagem, ela pretende prever o próximo registro necessário para ampliar a representação.

Analise a tabela e determine o ponto que deve ser acrescentado à representação no plano cartesiano para a etapa 6, mantendo o padrão descrito.

• ❌ A) O ponto (6, 145). — Erro de progressão linear: supõe um acréscimo inadequado, sem reconhecer que os totais são quadrados de números ímpares.
• ❌ B) O ponto (6, 225). — Erro na generalização do lado do quadrado: 225 é o quadrado de 15 e corresponderia a uma etapa posterior.
• ❌ C) O ponto (6, 121). — Erro de deslocamento de etapa: 121 é o total correspondente à etapa 5, não à etapa 6.
• ✅ D) O ponto (6, 169). — Os totais são 1, 9, 25, 49 e 81, quadrados de 1, 3, 5, 7 e 9. Na etapa 6, obtém-se o quadrado de 13, isto é, 169.
• ❌ E) O ponto (6, 129). — Erro de soma parcial: acrescenta apenas o aumento final à etapa 4 e ignora a passagem intermediária pela etapa 5.

Dica de resolução: observe o padrão dos quadrados dos números para prever o próximo ponto. Conceito central: progressão quadrática, padrão numérico. Conceito para revisão: estude progressões e sequências numéricas quadráticas. BNCC: EM13MAT502. Bloom: Aplicar.

Questão 6: carrinho de robótica e a relação linear

Numa oficina de robótica, estudantes registraram no caderno de testes a posição de um carrinho em uma pista reta. Para cada rodada, anotaram a distância percorrida no eixo horizontal e a quantidade de sensores ativados no eixo vertical. Os dados ficaram assim: rodada 1, ponto (1, 2); rodada 2, ponto (2, 4); rodada 3, ponto (3, 6); rodada 4, ponto (4, 8). Ao lançar esses pares em um plano cartesiano, os pontos ficaram alinhados em uma mesma reta. A equipe queria prever a próxima anotação sem testar o carrinho novamente, usando apenas o padrão observado na tabela.

Analise os dados da tabela e identifique a relação que permite prever o próximo ponto do registro.

• ❌ A) O ponto (5, 11) e a relação y = 2x + 1. — Essa regra geraria 3, 5, 7, 9, e não os pares da tabela, que são 2, 4, 6, 8.
• ❌ B) O ponto (5, 5) e a relação y = 10 - x. — Essa relação diminui quando x aumenta, mas a tabela mostra crescimento proporcional.
• ✅ C) O ponto (5, 10) e a relação y = 2x. — Os pares mostram que a segunda coordenada dobra a primeira em todas as rodadas, formando a regra y = 2x.
• ❌ D) O ponto (5, 7) e a relação y = x + 2. — Há aumento constante, mas não de 2 somado a x; os valores da tabela mostram dobra, não soma.
• ❌ E) O ponto (5, 25) e a relação y = x^2. — O crescimento na tabela é linear, não quadrático; x^2 produziria 1, 4, 9, 16.

Dica de resolução: observe o padrão dos pontos e identifique a relação matemática entre x e y. Conceito central: relação linear entre variáveis. Conceito para revisão: estude funções lineares e análise de gráficos de pontos. BNCC: EM13MAT502. Bloom: Analisar.

Como usar o GeraProva para montar sua lista?

Depois de usar essas questões algumas vezes, percebi que o mais trabalhoso não era resolver, e sim montar listas equilibradas por dificuldade. Na página inicial do GeraProva você descreve o conteúdo e o nível da turma, e a ferramenta gera a prova com gabarito e justificativas para cada alternativa. Isso economiza horas de preparação semanal.

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