No plano cartesiano, considere os pontos A(2,1), B(10,5) e C(6,13). Calcule as distâncias AB, BC e AC e…

Questão

No plano cartesiano, considere os pontos A(2,1), B(10,5) e C(6,13). Calcule as distâncias AB, BC e AC e verifique se o triângulo ABC é retângulo; identifique o vértice do ângulo reto.

1. A) AB = 10 ; BC = 5 ; AC = 15
2. B) AB = 4v5, BC = 4v5, AC = 4v10; o triângulo é retângulo em B.
3. C) AB = 4 ; BC = 4 ; AC = 8
4. D) AB = 8 ; BC = 8 ; AC = 16
5. E) AB = 16v5 ; BC = 16v5 ; AC = 32v10

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Calcule AB pela fórmula da distância entre dois pontos, d = raiz de ((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2). Para A(2,1) e B(10,5): dx = 8 e dy = 4, então AB = raiz de (64 + 16) = raiz de 80 = 4 raiz de 5.
2. Calcule BC com B(10,5) e C(6,13): dx = -4 e dy = 8, então BC = raiz de (16 + 64) = raiz de 80 = 4 raiz de 5.
3. Calcule AC com A(2,1) e C(6,13): dx = 4 e dy = 12, então AC = raiz de (16 + 144) = raiz de 160 = 4 raiz de 10.
4. Verifique o teorema de Pitágoras. AB^2 + BC^2 = 80 + 80 = 160, e AC^2 = 160. Como a soma dos quadrados dos dois lados menores é igual ao quadrado do maior, o triângulo é retângulo, e o ângulo reto está no vértice comum a AB e BC, que é o vértice B.
5. Conclusão. A alternativa B traz exatamente essas medidas e o vértice correto, por isso está certa, e o gabarito oficial está correto.
6. Por que as outras estão erradas. A traz distâncias que não correspondem à fórmula, como AB = 10, que não é a distância entre A e B. C usa diferenças isoladas de coordenadas e produz uma situação de pontos alinhados, o que não ocorre. D dobra valores de coordenadas sem usar a fórmula da distância. E eleva as medidas de forma incorreta, pois 16 raiz de 5 não é igual a 4 raiz de 5.

💡 Dica: Calcule as distâncias usando a fórmula da distância entre dois pontos.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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