Exercício de grandezas diretamente proporcionais: exemplos e respostas

Quando trabalho proporcionalidade com uma turma, começo por situações que os alunos conseguem imaginar: ajustar uma receita, comparar preços por quantidade ou ampliar uma medida. Já percebi que muitos aplicam a regra de três mecanicamente, mas têm dificuldade para decidir se as grandezas são mesmo diretamente proporcionais. Por isso, antes da conta, peço que expliquem o que acontece quando uma medida dobra.

Reuni aqui exemplos resolvidos e algumas formas de abordar o tema sem transformar a aula numa sequência de cruzamentos. As questões incluem relações diretas, inversas e não proporcionais, porque essa comparação ajuda a revelar se o estudante compreendeu o conceito. Também compartilho como uso os dados pedagógicos do GeraProva para preparar atividades e ganhar tempo na elaboração.

O que são grandezas diretamente proporcionais?

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando aumentam ou diminuem na mesma razão e a divisão entre valores correspondentes permanece constante. Se uma delas dobra, a outra também dobra; se uma cai pela metade, a outra cai pela metade. Podemos representar essa relação por y = kx, em que k é uma constante diferente de zero, e o gráfico é uma reta que passa pela origem. Por exemplo, se cada ingresso custa R$ 20, o valor pago é proporcional ao número de ingressos, desde que não haja taxas ou descontos. Eu gosto de destacar essa condição: duas medidas aumentarem juntas não basta para provar proporcionalidade. É preciso verificar a razão constante. Esse critério também ajuda a diferenciar a relação direta da inversa, em que o produto se mantém constante, e de situações não proporcionais, como horas de estudo e nota. A habilidade EF08MA12 da BNCC envolve justamente identificar e representar essas variações.

Na prática, proponho uma tabela antes de apresentar a fórmula. Para uma receita que usa 50 g de açúcar por porção, por exemplo, os pares porção/gramas seriam (1, 50), (2, 100) e (4, 200). A razão açúcar/porções permanece 50.

• Direta: a razão entre valores correspondentes é constante.
• Inversa: quando uma aumenta, a outra diminui de modo que o produto fica constante.
• Não proporcional: não há uma razão ou um produto constante que descreva a relação.

Como ensinar a identificar a proporcionalidade na prática?

Para ensinar a identificar proporcionalidade, eu começo perguntando o que acontece com uma grandeza quando a outra é multiplicada por um mesmo fator. Em seguida, construo uma tabela com pelo menos três pares de valores e comparo as razões: se forem iguais, há proporcionalidade direta; se o produto dos pares ficar igual, há proporcionalidade inversa. Se nenhum padrão se mantiver, a relação não é proporcional. Essa investigação evita que os alunos escolham a regra de três apenas porque o enunciado apresenta dois números. Também peço que testem a conclusão com uma previsão: se a quantidade dobrar, qual valor esperam obter? Em uma receita, essa previsão costuma ser intuitiva. Já para altura e peso de uma pessoa ou horas de estudo e nota, a associação não garante uma taxa fixa. Com esses passos, os estudantes explicam o raciocínio e não apenas apresentam uma resposta numérica.

Uma sequência curta que costumo usar é:

1. Nomear as duas grandezas e identificar o que está sendo comparado.
2. Organizar os dados em pares ou numa tabela.
3. Verificar se os quocientes são constantes para testar relação direta.
4. Verificar se os produtos são constantes para testar relação inversa.
5. Explicar a conclusão em palavras e, quando fizer sentido, no gráfico.

Se a turma estiver pronta, comparo também o perímetro e a área de uma figura semelhante. O perímetro cresce linearmente com o lado, mas a área cresce com o quadrado. Esse contraste mostra por que “cresce junto” não significa “é diretamente proporcional”.

Como avaliar se os alunos compreenderam o conceito?

Eu avalio a compreensão combinando cálculo, classificação e justificativa, em vez de usar apenas uma conta de regra de três. Uma atividade breve pode pedir que o estudante reconheça a natureza de duas relações, resolva uma situação direta e interprete um gráfico. Para cada resposta, peço uma evidência: uma razão constante, um produto constante ou a explicação de por que nenhum dos dois se mantém. Assim consigo distinguir um erro de cálculo de uma confusão conceitual. Também observo se o aluno percebe limitações do contexto, como taxas fixas, descontos ou relações que variam de maneira irregular. A habilidade EF08MA12 propõe identificar e representar variações, então vale incluir tabelas, expressões algébricas e gráficos no conjunto de tarefas. No GeraProva, posso montar avaliações com questões de níveis variados e revisar os descritores antes de aplicar. O objetivo não é acumular itens, mas enxergar com clareza o que cada aluno já consegue fazer sozinho.

Na correção, procuro padrões de erro. Se o aluno multiplica cruzado sem classificar as grandezas, proponho uma situação de comparação por fator. Se confunde relação direta com qualquer aumento simultâneo, uso um contraexemplo de associação, como estudo e nota. Uma pergunta oral simples — “o que acontece se dobrar?” — muitas vezes esclarece a dúvida.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões a seguir percorrem classificação, cálculo, expressão algébrica e leitura de comportamento gráfico. Eu as uso como uma sequência diagnóstica: começo por situações familiares, avanço para a justificativa de relações e termino com representação. Cada item traz a alternativa correta e explica por que os distratores não servem, o que facilita discutir estratégias sem reduzir a correção a um gabarito seco. Os dados pedagógicos indicam dificuldade, nível de Bloom, habilidade BNCC, conceito central e dica de resolução; essas informações ajudam a selecionar itens adequados ao objetivo da aula. Vale observar que uma situação pode envolver grandezas relacionadas sem ser proporcional: a evidência precisa estar no enunciado ou nos valores apresentados. Antes de aplicar, posso pedir que a turma registre a conta e uma frase explicando a escolha. Assim, tenho pistas tanto sobre o domínio do cálculo quanto sobre a compreensão da variação. As questões também podem ser combinadas em uma folha de revisão ou avaliação curta.

1. Altura, peso, horas de estudo e nota

Enunciado: Identifique se as grandezas a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais: altura e peso de uma pessoa e o número de horas de estudo e a nota em uma prova.

Dica de resolução: Verifique se uma grandeza varia sempre em razão constante ou inversa da outra. Conceito central: grandezas proporcionais e não proporcionais. Para revisão: diferencie proporcionalidade de associação. BNCC: EF08MA12. Bloom: Analisar. Dificuldade média; raciocínio crítico.

• ❌ A) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são proporcionais. A primeira classificação está correta, mas estudar mais não garante aumento constante da nota.
• ❌ B) Ambas são diretamente proporcionais. Aumentar uma medida não garante aumento na mesma razão da outra.
• ❌ C) Ambas são inversamente proporcionais. Não há evidência de produto constante nem de diminuição sistemática das grandezas.
• ✅ D) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são não proporcionais. Nenhum dos pares mantém razão constante, e mais horas não garantem nota proporcionalmente maior.
• ❌ E) Altura e peso são diretamente proporcionais; horas e nota são não proporcionais. A segunda classificação está correta, mas altura e peso não mantêm razão constante.

2. Perímetro e área de um hexágono regular

Enunciado: Uma placa hexagonal regular tem lado x cm. Quando o lado passa de 3 cm para 6 cm, o perímetro dobra e a área fica quatro vezes maior. Qual é a relação gráfica entre área e perímetro em função de x?

Dica: Compare o crescimento linear do perímetro com o quadrático da área. Conceito central: relação entre perímetro e área. Para revisão: funções lineares e quadráticas. BNCC: EM13MAT506. Bloom: Avaliar. Dificuldade difícil; raciocínio dedutivo.

• ❌ A) Perímetro em curva crescente e área em reta crescente. Inverte os comportamentos: o perímetro é linear e a área não é reta.
• ❌ B) Ambos em retas crescentes. A área cresce de forma quadrática, não linear.
• ❌ C) Reta e curva decrescentes. As duas medidas aumentam quando o lado aumenta.
• ✅ D) Perímetro em reta crescente e área em curva crescente. O perímetro é proporcional ao lado; a área cresce de modo não linear e mais acelerado.
• ❌ E) Ambos em curvas crescentes. O perímetro varia linearmente, portanto seu gráfico é uma reta.

3. Açúcar para dez porções

Enunciado: Em uma receita, a quantidade de açúcar e o número de porções são diretamente proporcionais. Se para 4 porções são necessários 200 g de açúcar, quantos gramas serão necessários para 10 porções?

Dica: Utilize regra de três ou encontre a quantidade por porção. Conceito central: proporcionalidade direta. Para revisão: proporções e regra de três simples. BNCC: EF06MA15. Bloom: Aplicar. Dificuldade média; raciocínio dedutivo.

• ❌ A) 400 g. A proporção correta é 50 g por porção; para 10, são necessários 500 g.
• ✅ B) 500 g. 200 ÷ 4 = 50 g por porção; 50 × 10 = 500 g.
• ❌ C) 600 g. Esse valor excede o resultado da taxa de 50 g por porção.
• ❌ D) 300 g. É insuficiente: corresponde a apenas 6 porções nessa proporção.
• ❌ E) 200 g. Essa quantidade atende 4 porções, não 10.

4. A relação y = 3x

Enunciado: Dadas as grandezas X e Y, onde Y = 3X, determine a natureza da relação entre elas.

Dica: Analise a relação entre as variáveis X e Y. Conceito central: relação entre grandezas. Para revisão: relação proporcional entre grandezas. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar. Dificuldade média; raciocínio dedutivo.

• ✅ A) Diretamente proporcionais. Y é sempre três vezes X; a razão Y/X é constante e positiva.
• ❌ B) Inversamente proporcionais. Numa relação inversa, uma aumenta enquanto a outra diminui, com produto constante.
• ❌ C) Não proporcionais. A expressão mostra uma razão fixa, portanto há proporcionalidade direta.
• ❌ D) Constantes. As variáveis dependem uma da outra e mudam quando X muda.
• ❌ E) Relativas. Essa opção não descreve a natureza matemática indicada pela expressão.

5. Grandezas no transporte

Enunciado: Gestores monitoram pares de grandezas: quando a distância percorrida dobra, o combustível também dobra; ao dobrar trabalhadores na carga, o tempo cai pela metade; aumentar o peso da carga exige mais potência, mas sem fator constante. Qual par é inversamente proporcional?

Dica: Procure grandezas em que uma aumenta e a outra diminui, mantendo o produto. Conceito central: variação inversamente proporcional. Para revisão: características da proporcionalidade inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar. Dificuldade difícil; raciocínio criativo.

• ✅ A) Número de trabalhadores e tempo de carregamento. Dobrar trabalhadores reduz o tempo à metade, conforme a relação inversa descrita.
• ❌ B) Distância percorrida e tempo de carregamento. O enunciado não estabelece relação entre essas grandezas.
• ❌ C) Tempo de carregamento e combustível consumido. Não há informação sobre como esses valores variam juntos.
• ❌ D) Peso da carga e potência do motor. Há relação, mas não existe fator constante; o texto exclui proporcionalidade.
• ❌ E) Distância percorrida e combustível consumido. As duas grandezas dobram juntas, indicando variação direta, não inversa.

6. Representação gráfica de y = 3x

Enunciado: Dadas as grandezas x e y, onde y = 3x, represente graficamente essa relação em um plano cartesiano.

Dica: Calcule alguns valores de x e encontre os correspondentes de y. Conceito central: função linear. Para revisão: representação gráfica de funções lineares. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar. Dificuldade fácil; raciocínio indutivo.

• ❌ A) Gráfico linear que não passa pela origem. Quando x = 0, y também é 0; portanto, o gráfico passa pela origem.
• ❌ B) Gráfico exponencial. A expressão y = 3x representa uma relação linear, não exponencial.
• ✅ C) Gráfico linear que passa pela origem. Por exemplo, os pontos (0,0), (1,3) e (2,6) pertencem à reta.
• ❌ D) Gráfico circular. Os pares ordenados seguem uma reta, não uma circunferência.
• ❌ E) Gráfico aleatório. A expressão determina um padrão fixo e previsível.

Como preparar novas atividades sem perder tempo?

Para preparar novas atividades com menos retrabalho, eu defino primeiro a habilidade e a evidência que quero observar: identificar uma relação, calcular um valor desconhecido ou interpretar um gráfico. Depois seleciono contextos próximos da realidade dos estudantes e misturo questões diretas com situações que parecem proporcionais, mas não são. O GeraProva pode ajudar a gerar uma primeira versão de questões e organizar uma prova; ainda assim, eu reviso enunciados, alternativas, cálculos e adequação à turma antes de aplicar. Essa revisão profissional é essencial para evitar ambiguidades e alinhar o material ao que foi ensinado. Se quero ampliar a prática, acesso a página inicial do GeraProva e posso fazer o cadastro grátis. A ferramenta economiza tempo na montagem, enquanto a decisão pedagógica continua comigo: escolho o nível, a sequência e o tipo de raciocínio que meus alunos precisam desenvolver.

Eu também alterno números e contextos para verificar se a turma aprendeu o conceito, não apenas memorizou uma resposta. Uma atividade bem planejada pode começar com classificação, seguir para cálculo e terminar com uma justificativa escrita.

As questões servem como ponto de partida e podem ser adaptadas ao conteúdo já trabalhado com sua turma. Se quiser experimentar outras combinações e preparar materiais com mais agilidade, teste o GeraProva gratuitamente.