Uma empresa brasileira que fabrica boias de sinalização marítima produz um modelo formado por um cilindro reto…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma empresa brasileira que fabrica boias de sinalização marítima produz um modelo formado por um cilindro reto de comprimento 10 cm, fechado em cada extremidade por uma semiesfera. No modelo atual, o raio é 3 cm. Para aumentar a flutuação, o projeto prevê elevar o raio para 4,5 cm, mantendo o comprimento cilíndrico. A equipe precisa estimar a mudança na área externa que receberá revestimento, sem considerar a espessura do material. Use pi como símbolo exato. Em comparação com o modelo atual, qual será o efeito da mudança de raio sobre a área externa revestida da boia?
- A) A área externa passará de 36 pi cm² para 81 pi cm², um aumento de 45 pi cm², equivalente a 125%.
- B) A área externa passará de 78 pi cm² para 130,5 pi cm², um aumento de 52,5 pi cm², equivalente a 67,3077%.
- C) A área externa passará de 60 pi cm² para 90 pi cm², um aumento de 30 pi cm², equivalente a 50%.
- D) A área externa passará de 96 pi cm² para 171 pi cm², um aumento de 75 pi cm², equivalente a 78,125%.
- E) A área externa passará a 144 pi cm², um aumento de 48 pi cm², equivalente a 50%.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A área externa é a soma da área lateral do cilindro e da área das duas semiesferas, que juntas formam uma esfera: A = 2πrh + 4πr².
- Com h = 10 cm e r = 3 cm, A = 2π·3·10 + 4π·3² = 60π + 36π = 96π cm².
- Com r = 4,5 cm, A = 2π·4,5·10 + 4π·4,5² = 90π + 81π = 171π cm². O aumento é 75π cm², equivalente a 75/96 = 78,125% da área inicial. Portanto, D está correta.
- A considera somente as áreas esféricas; B contabiliza apenas metade da área da esfera; C considera apenas a área lateral do cilindro; E aplica um aumento percentual incorreto à área total.
💡 Dica: Some a área lateral do cilindro à área das duas semiesferas, que formam uma esfera; calcule para cada raio e compare.
Alternativa por alternativa
Calcula apenas a área da esfera formada pelas duas semiesferas, ignorando a área lateral do cilindro.
Soma a área lateral do cilindro a apenas 2πr², embora as duas semiesferas juntas tenham área 4πr².
Calcula somente a área lateral do cilindro e deixa de incluir a superfície das duas semiesferas.
Por que engana: Calcular a área apenas das semiesferas ou confundir o comprimento do cilindro com sua altura sem incluir a área lateral corretamente.
A superfície externa reúne a área lateral do cilindro, 2 pi r h, e a área de uma esfera, 4 pi r², formada pelas duas semiesferas. Para os raios 3 cm e 4,5 cm, mantendo h = 10 cm, as áreas são 96 pi cm² e 171 pi cm²; o aumento relativo é 75/96 = 78,125%.
Aplica um aumento de 50% à área inicial sem calcular as contribuições do cilindro e da esfera separadamente; o aumento do raio não implica esse mesmo aumento percentual na área total.
Raio-X da questão
Área total de cilindro com extremidades esféricas
avaliacao
Área lateral de um cilindro · Área de uma esfera e cálculo percentual
Áreas de cilindros e esferas
Calcular a área apenas das semiesferas ou confundir o comprimento do cilindro com sua altura sem incluir a área lateral corretamente.
Ciência e tecnologia; segurança marítima
cotidiano
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