Em estudos sobre a queda e o movimento dos corpos, associados às investigações de Galileu Galilei, modelos…

Questão

Em estudos sobre a queda e o movimento dos corpos, associados às investigações de Galileu Galilei, modelos matemáticos idealizados ajudam a prever a trajetória de um objeto. Em uma simulação didática de um lançamento vertical, a altura em metros, após t segundos, é representada por h(t) = -5t^2 + 20t + 25. O modelo considera o solo como altura zero e é válido enquanto o objeto está no ar. Usando a fatoração da expressão que representa h(t), determine após quanto tempo o objeto atinge o solo pela primeira vez depois do lançamento.

1. A) 6 segundos
2. B) 5 segundos
3. C) 2 segundos
4. D) 4 segundos
5. E) 1 segundo

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Queremos o instante em que a altura é zero, ou seja, resolver -5t^2 + 20t + 25 = 0. Passo 2: Dividimos toda a equação por -5 para simplificar: t^2 - 4t - 5 = 0. Passo 3: Fatoramos o trinômio procurando dois números cuja soma seja -4 e cujo produto seja -5. Esses números são -5 e +1, logo (t - 5)(t + 1) = 0. Verificando: t^2 + t - 5t - 5 = t^2 - 4t - 5, o que confere. Passo 4: Pelo princípio do produto nulo, t - 5 = 0 ou t + 1 = 0, o que dá t = 5 ou t = -1. Passo 5: O valor t = -1 não tem sentido físico, pois o tempo é contado a partir do lançamento (t ≥ 0) e o enunciado diz que o modelo vale enquanto o objeto está no ar. Logo, o objeto atinge o solo pela primeira vez em t = 5 segundos, o que corresponde à alternativa B, conforme o gabarito oficial. Passo 6: Por que as outras estão erradas: 6 segundos não é raiz da equação, pois substituindo t = 6 obtemos -5(36) + 120 + 25 = -35, diferente de zero; 2 segundos é o instante em que a altura atinge o máximo (vértice, t = -b/2a = 20/10), e não o solo; 4 segundos é o coeficiente do termo em t da equação simplificada, não uma raiz; 1 segundo não satisfaz a equação, pois h(1) = -5 + 20 + 25 = 40 metros.

💡 Dica: Fatore h(t), encontre quando h(t)=0 e escolha a raiz positiva.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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