Em um laboratório de tecnologia, uma equipe está montando um painel retangular de sensores para testar a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um laboratório de tecnologia, uma equipe está montando um painel retangular de sensores para testar a captação de sinais. A área prevista é de 84 cm², e o comprimento deve ser 5 cm maior que a largura. Para conferir o projeto, a equipe representa a largura por x e obtém a equação x(x + 5) = 84. Qual deve ser a largura do painel, considerando que suas dimensões são positivas?
- A) 12 cm
- B) 7 cm
- C) 6 cm
- D) 9,2 cm
- E) 79 cm
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Organizar a equação. A equação x(x + 5) = 84 equivale a x^2 + 5x = 84, e então x^2 + 5x - 84 = 0.
- Aplicar Bhaskara ou fatoração. O discriminante é Δ = 5^2 - 4·1·(-84) = 25 + 336 = 361, e a raiz quadrada de 361 é 19.
- Calcular as raízes. x = (-5 + 19) / 2 = 7 ou x = (-5 - 19) / 2 = -12.
- Usar a condição do enunciado. Como as dimensões são positivas, a raiz -12 é descartada e a largura é x = 7 cm.
- Conferir. Largura 7 cm e comprimento 12 cm dão área 7 × 12 = 84 cm², e o comprimento é 5 cm maior que a largura, como exigido.
- Comparar com o gabarito. A resposta 7 cm, alternativa B, coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 12 cm é o comprimento, não a largura; C) 6 cm não satisfaz x(x + 5) = 84, pois 6 × 11 = 66; D) 9,2 cm não é solução exata, pois 9,2 × 14,2 é aproximadamente 130; E) 79 cm é absurdo, pois 79 × 84 não corresponde à equação dada.
💡 Dica: Expanda a expressão, iguale a zero e fatore a equação do 2º grau.
Alternativa por alternativa
O aluno encontrou corretamente o valor 12, que é o comprimento (x + 5 = 12), mas respondeu a dimensão errada, confundindo o lado maior com a largura pedida.
Por que engana: Somar 5 à área ou aceitar uma raiz negativa como largura.
A equação pode ser escrita como x² + 5x - 84 = 0 e fatorada em (x + 12)(x - 7) = 0. Como a largura é positiva, x = 7 cm.
O aluno provavelmente dividiu 84 por 14 (ou por outro número sem relação com a equação), tratando a equação como um cálculo de divisão direta e não como uma equação do segundo grau.
O aluno tirou a raiz quadrada de 84 (aproximadamente 9,2), como se o painel fosse um quadrado de lado x, ignorando a relação de 5 cm entre comprimento e largura.
O aluno subtraiu 5 de 84 para isolar x, aplicando a operação de forma errada e tratando o +5 da equação como se fosse uma subtração simples sobre a área.
Raio-X da questão
Fatoração de equação quadrática em problema de área retangular.
fixacao
Propriedade distributiva e produtos algébricos. · Resolução de equações do 1º grau e interpretação de medidas positivas.
Resolução de equações do 2º grau por fatoração.
Somar 5 à área ou aceitar uma raiz negativa como largura.
cientifico
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