Uma equipe de reabilitação de animais vai construir um recinto retangular encostado a um muro existente, que…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma equipe de reabilitação de animais vai construir um recinto retangular encostado a um muro existente, que servirá como um dos lados do recinto. Para os outros três lados, há 40 m de tela. Se a largura perpendicular ao muro for x metros, o comprimento paralelo ao muro será 40 - 2x metros. O recinto precisa ter área de pelo menos 180 m² para acomodar os animais com segurança. Com base nesses dados, determine os valores possíveis de x para que a área mínima seja respeitada e explique como a área varia quando a largura aumenta, considerando também que as dimensões do recinto devem ser positivas.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
A área é A(x) = x(40 - 2x). Para que A(x) seja pelo menos 180 m², é necessário que x(40 - 2x) >= 180, ou seja, x² - 20x + 90 <= 0. As raízes são x = 10 - raiz quadrada de 10 e x = 10 + raiz quadrada de 10. Portanto, a largura deve estar entre 10 - raiz quadrada de 10 m e 10 + raiz quadrada de 10 m, inclusive, aproximadamente entre 6,84 m e 13,16 m. Como o comprimento é 40 - 2x, ele diminui à medida que a largura aumenta; por isso, a área cresce até x = 10 m, quando atinge 200 m², e depois diminui. Fora do intervalo indicado, a área fica abaixo de 180 m².
Explicação
A tela disponível determina uma relação entre largura e comprimento: ao aumentar x, o comprimento 40 - 2x diminui. A área é uma função quadrática que atinge máximo em x = 10 m. Resolver a inequação da área mínima identifica exatamente o intervalo de larguras aceitáveis.
Raio-X da questão
Inequação quadrática aplicada à área de um retângulo.
avaliacao
Produto de expressões algébricas. · Resolução de equações e inequações do segundo grau.
Fatoração e análise do sinal de uma expressão quadrática.
Resolver apenas a equação A(x)=180 e ignorar que a área deve ser pelo menos 180 e que as dimensões são positivas.
Proteção e bem-estar animal.
Atenção e persistência na interpretação das condições.
cotidiano
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