Em uma instalação artística com uma estrutura circular, dois refletores fixos marcam as extremidades de um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma instalação artística com uma estrutura circular, dois refletores fixos marcam as extremidades de um arco menor que mede 76 graus. Um sensor instalado sobre esse arco registra o ângulo inscrito formado pelas linhas que ligam sua posição aos dois refletores; portanto, o ângulo intercepta o arco maior entre os refletores. Para uma nova configuração, os refletores serão reposicionados de modo que o arco menor aumente 20 graus, enquanto o sensor continuará sobre o arco menor. Com base nessa configuração, qual será a variação do ângulo inscrito registrado pelo sensor, em relação à configuração inicial?
- A) O ângulo inscrito diminuirá 10 graus, passando de 142 graus para 132 graus.
- B) O ângulo inscrito permanecerá com a mesma medida da configuração inicial.
- C) O ângulo inscrito diminuirá 20 graus, e o ângulo final será de 122 graus.
- D) O ângulo inscrito registrado será de 48 graus.
- E) O ângulo inscrito aumentará 20 graus, e o ângulo final será de 162 graus.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- O arco menor inicial mede 76 graus, então o arco maior é 360 - 76 = 284 graus. Passo 2: O sensor está sobre o arco menor, logo o ângulo inscrito intercepta o arco maior. Pelo teorema do ângulo inscrito, ele vale metade desse arco: 284 / 2 = 142 graus. Passo 3: Na nova configuração, o arco menor aumenta 20 graus e passa a medir 76 + 20 = 96 graus. Passo 4: O arco maior passa a ser 360 - 96 = 264 graus. Passo 5: O novo ângulo inscrito é 264 / 2 = 132 graus. Passo 6: A variação é 132 - 142 = -10, ou seja, o ângulo diminui 10 graus. Passo 7: Por isso a alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa B está errada porque o ângulo depende do arco interceptado, que muda. A alternativa C está errada porque a variação do arco não se transfere integralmente ao ângulo; ela deve ser dividida por 2. A alternativa D está errada porque 48 graus é metade do novo arco menor, e o ângulo intercepta o arco maior. A alternativa E está errada porque o ângulo diminui, já que o arco interceptado diminui.
💡 Dica: O ângulo inscrito mede a metade do arco maior interceptado; compare as medidas antes e depois.
Alternativa por alternativa
Inicialmente, o arco interceptado mede 360 - 76 = 284 graus, então o ângulo inscrito mede 142 graus. Com o aumento de 20 graus no arco menor, ele passa a 96 graus; o arco interceptado passa a 264 graus, e o ângulo inscrito mede 132 graus. Assim, diminui 10 graus.
Supõe que, como o sensor continua sobre o mesmo arco, o ângulo inscrito não muda. Ignora que a medida do ângulo depende do arco interceptado, que é alterado quando os refletores são reposicionados.
Subtrai diretamente os 20 graus de variação do arco do ângulo inscrito (142 - 20 = 122). Esquece que o ângulo inscrito vale metade do arco interceptado, então a variação do ângulo é metade da variação do arco.
Por que engana: Usar metade do arco menor, embora o sensor esteja sobre esse arco e intercepte o arco maior.
Calcula a metade do novo arco menor (96 / 2 = 48) como se o ângulo interceptasse o arco menor. Como o sensor está sobre o arco menor, o ângulo intercepta o arco maior.
Acredita que o ângulo inscrito aumenta quando o arco menor aumenta e soma 20 graus diretamente a 142. Confunde a relação entre o arco onde está o sensor e o arco interceptado, e também esquece a divisão por 2.
Raio-X da questão
Relação entre ângulo inscrito e arco interceptado
avaliacao
Medida total de uma circunferência: 360° · Identificação do arco interceptado por um ângulo inscrito
Arcos complementares à circunferência e ângulo inscrito
Usar metade do arco menor, embora o sensor esteja sobre esse arco e intercepte o arco maior.
abstrato
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