Em um projeto de iluminação de uma praça, a planta circular marca três pontos na borda, A, B e C, e o centro…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um projeto de iluminação de uma praça, a planta circular marca três pontos na borda, A, B e C, e o centro O. O ângulo AOB, formado pelos raios que apontam para A e B, mede (5x + 10) graus. No ponto C, o ângulo ACB, formado pelas linhas de visão para A e B, mede (2x + 20) graus. Os dois ângulos interceptam o mesmo arco menor AB. Com base nas medidas indicadas na planta, qual é a medida do arco menor AB?
- A) 10 graus.
- B) 80 graus.
- C) 60 graus.
- D) 120 graus.
- E) 160 graus.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique as grandezas. O ângulo AOB é central (vértice no centro O) e vale 5x+10. O ângulo ACB é inscrito (vértice C na circunferência) e vale 2x+20. Os dois interceptam o mesmo arco menor AB.
- Use a relação entre ângulo central e inscrito que interceptam o mesmo arco: o ângulo central é o dobro do inscrito. Assim, 5x+10 = 2(2x+20).
- Resolva a equação. 5x+10 = 4x+40, logo 5x-4x = 40-10, ou seja, x = 30.
- Calcule o ângulo central: 5(30)+10 = 160 graus. Como AOB é o ângulo central que intercepta o arco menor AB, a medida do arco menor AB é 160 graus.
- Confira. Com x = 30, o ângulo inscrito vale 2(30)+20 = 80 graus, que é exatamente a metade de 160, confirmando a relação.
- Por que as outras estão erradas: A (10 graus) resultaria de inverter a relação; B (80 graus) é o ângulo inscrito, não o arco; C (60 graus) resulta de esquecer de multiplicar o 20 por 2 na equação; D (120 graus) não é compatível com a relação entre os dois ângulos.
- O gabarito oficial E está correto.
💡 Dica: Iguale o ângulo central ao dobro do inscrito; o arco menor tem a medida do ângulo central.
Alternativa por alternativa
Inverteu a relação entre ângulo central e inscrito, supondo que o central é a metade do inscrito. Isso leva a 5x+10 = x+10, logo x = 0 e o ângulo central fica 10 graus.
Tomou o ângulo inscrito (2x+20 = 80 graus) como se fosse a medida do arco, esquecendo que o inscrito vale a metade do arco que intercepta.
Por que engana: Igualar os dois ângulos ou usar o ângulo inscrito como medida do arco.
Montou corretamente a relação 5x+10 = 2(2x+20), mas distribuiu mal o fator 2, escrevendo 5x+10 = 4x+20. Isso dá x = 10 e um ângulo central de 60 graus.
Errou o cálculo do arco ou confundiu o arco menor com o maior ou com outra medida, chegando a 120 graus sem respeitar a relação de dobro entre central e inscrito.
Como o ângulo central e o ângulo inscrito interceptam o mesmo arco, o ângulo central mede o dobro do inscrito. Assim, 5x + 10 = 2(2x + 20), o que resulta em x = 30. Substituindo na expressão do ângulo central, obtém-se 160 graus, medida do arco menor AB.
Raio-X da questão
Ângulo central e ângulo inscrito que interceptam o mesmo arco.
fixacao
Resolução de equações do primeiro grau. · Relação entre ângulo central e ângulo inscrito.
Medida do arco menor igual à do ângulo central correspondente.
Igualar os dois ângulos ou usar o ângulo inscrito como medida do arco.
cotidiano
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