Nos estudos históricos sobre o movimento dos projéteis, Galileu contribuiu para a compreensão de que, em um…

Questão

Nos estudos históricos sobre o movimento dos projéteis, Galileu contribuiu para a compreensão de que, em um modelo idealizado sem resistência do ar, a trajetória pode ser representada por uma parábola. Em uma simulação didática inspirada nesse contexto, a altura de um projétil, em metros, após percorrer x metros na horizontal é h(x) = -0,05x^2 + 2x + 1. O modelo considera um obstáculo de altura 16 metros que ocupa o trecho horizontal entre x = 18 e x = 22 metros. Com base no modelo, a trajetória ultrapassa todo o obstáculo? Determine a menor altura do projétil no trecho ocupado pelo obstáculo e a folga mínima em relação ao seu topo.

1. A) Sim. A menor altura no trecho ocorre em x = 18 e vale 36,1 metros; portanto, a folga mínima é de 20,1 metros.
2. B) Sim. A menor altura no trecho ocorre nas extremidades e vale 20,8 metros; portanto, a folga mínima é de 20,8 metros.
3. C) Sim. A menor altura no trecho ocorre em x = 22 e vale 43,9 metros; portanto, a folga mínima é de 27,9 metros.
4. D) Sim. A menor altura ocorre no vértice, em x = 20, e vale 21 metros; portanto, a folga mínima é de 5 metros.
5. E) Sim. A menor altura no trecho ocorre nas extremidades, em x = 18 ou x = 22, e vale 20,8 metros; portanto, a folga mínima é de 4,8 metros.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. A função h(x) = -0,05x^2 + 2x + 1 tem coeficiente a = -0,05 < 0, logo a parábola tem concavidade para baixo e o vértice é um ponto de máximo, não de mínimo.
2. O vértice está em x = -b/(2a) = -2/(2·(-0,05)) = 20. Então h(20) = -0,05·400 + 40 + 1 = 21 metros, que é a altura máxima do projétil.
3. Como a parábola é côncava para baixo, em um intervalo fechado o mínimo ocorre em uma das extremidades. No trecho de 18 a 22 metros, calculamos h(18) = -0,05·324 + 36 + 1 = 20,8 metros e h(22) = -0,05·484 + 44 + 1 = 20,8 metros. A menor altura no trecho é 20,8 metros, nas duas extremidades.
4. O topo do obstáculo está em 16 metros. Como 20,8 > 16, a trajetória ultrapassa todo o obstáculo. A folga mínima é 20,8 - 16 = 4,8 metros.
5. Por isso a alternativa E está correta. A alternativa A está errada porque o valor de h(18) é 20,8, não 36,1. A alternativa B está errada porque esquece de subtrair a altura do obstáculo ao calcular a folga. A alternativa C está errada porque h(22) é 20,8, não 43,9. A alternativa D está errada porque trata o vértice, que é máximo, como se fosse mínimo.

💡 Dica: Avalie a função nas extremidades do intervalo e compare os resultados; depois subtraia a altura do obstáculo.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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