Uma escola municipal vai construir um canteiro retangular para uma horta comunitária. O projeto prevê que o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma escola municipal vai construir um canteiro retangular para uma horta comunitária. O projeto prevê que o comprimento do canteiro seja 7 metros maior que a largura e que sua área total seja de 60 metros quadrados. Para determinar as medidas, a largura pode ser representada por x, formando a equação x^2 + 7x - 60 = 0. Considerando as informações do projeto, quais devem ser as medidas da largura e do comprimento do canteiro?
- A) A largura mede 5 m e o comprimento mede 12 m.
- B) A largura mede 3 m e o comprimento mede 20 m.
- C) A largura mede 4 m e o comprimento mede 15 m.
- D) A largura mede 7 m e o comprimento mede 10 m.
- E) A largura mede 6 m e o comprimento mede 11 m.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique a equação do projeto: x^2 + 7x - 60 = 0, em que x é a largura do canteiro. Passo 2: Resolva a equação por Bhaskara. O discriminante é Delta = 7^2 - 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289, e a raiz quadrada de 289 é 17. Passo 3: Calcule as raízes: x = (-7 + 17) / 2 = 5, ou x = (-7 - 17) / 2 = -12. Como a medida não pode ser negativa, a largura é 5 m. Passo 4: O comprimento é 7 m maior que a largura, logo 5 + 7 = 12 m. Passo 5: Verifique: a área é 5 x 12 = 60 m^2, como exige o projeto, e 12 - 5 = 7, como também exige o enunciado. Portanto, a alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: na B, 3 x 20 = 60, mas a diferença entre as medidas é 17, não 7. Na C, 4 x 15 = 60, mas a diferença é 11, não 7. Na D, 7 x 10 = 70, não 60, e a diferença é 3. Na E, 6 x 11 = 66, não 60, e a diferença é 5.
💡 Dica: determine as raízes da equação para encontrar as dimensões plausíveis
Alternativa por alternativa
A equação pode ser fatorada como (x + 12)(x - 5) = 0, gerando x = -12 ou x = 5. Como uma medida de comprimento deve ser positiva, a largura é 5 m; o comprimento, 7 m maior, é 12 m.
O aluno provavelmente verificou apenas que 3 x 20 resulta em 60 e não conferiu a condição de o comprimento ser 7 m maior que a largura, que aqui seria 17 m de diferença.
Por que engana: não descartar raiz negativa ou interpretar incorretamente as soluções
O aluno encontrou um par de fatores de 60 (4 e 15) e se contentou com a área, sem testar a relação de 7 metros de diferença entre comprimento e largura.
O aluno provavelmente aplicou a fórmula de Bhaskara com erro de sinal ou de cálculo e obteve 7 como raiz, sem substituir na equação para verificar; também não conferiu que 7 x 10 é 70, e não 60.
O aluno provavelmente fez uma estimativa aproximada das medidas próximas de 60 e não conferiu o produto exato nem a diferença de 7 metros; 6 x 11 é 66 e a diferença é 5.
Raio-X da questão
equação quadrática aplicada a problema geométrico
resolver equação qua
noções básicas de álgebra · conceito de área de figura plana
fatoração e propriedades da área de retângulo
não descartar raiz negativa ou interpretar incorretamente as soluções
atenção e perseverança
situação do cotidian
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