Durante um experimento em um laboratório de física, estudantes observaram que a intensidade de luz que…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante um experimento em um laboratório de física, estudantes observaram que a intensidade de luz que atravessa um filtro polarizador pode ser modelada pela equação x^4 - 16x^2 = 0, em que x representa um parâmetro relacionado à orientação do filtro. Com base na equação apresentada, identifique todos os valores reais de x que satisfazem essa relação.
- A) Os valores reais de x são 0, 4 e -4.
- B) Os valores reais de x são 4 e -4.
- C) Os valores reais de x são 2 e -2.
- D) O único valor real de x é 0.
- E) Os valores reais de x são 0 e 4.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Reescreva a equação fatorando o termo comum x^2: x^4 - 16x^2 = x^2(x^2 - 16) = 0. Passo 2: Um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero, então x^2 = 0 ou x^2 - 16 = 0. Passo 3: De x^2 = 0 obtemos x = 0. Passo 4: De x^2 - 16 = 0 obtemos x^2 = 16, logo x = 4 ou x = -4, pois ambos os números elevados ao quadrado dão 16. Passo 5: Os valores reais que satisfazem a equação são 0, 4 e -4, o que corresponde à alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Passo 6: A alternativa B está errada porque omite a raiz x = 0, que vem do fator x^2. A alternativa C está errada porque trata x^4 - 16 = 0 como se o termo -16x^2 não existisse, o que gera x = 2 e x = -2 sem considerar a equação original. A alternativa D está errada porque considera apenas o fator x^2 e ignora que x^2 - 16 = 0 também tem soluções reais. A alternativa E está errada porque omite a raiz negativa x = -4, que também satisfaz x^2 = 16.
💡 Dica: Coloque x² em evidência e use o produto nulo.
Alternativa por alternativa
A equação x^4 - 16x^2 = 0 pode ser resolvida pela substituição y = x^2, tornando-se y^2 - 16y = 0. Isso se fatorado resulta em y(y - 16) = 0, ou seja, y = 0 ou y = 16. Como y = x^2, temos x^2 = 0 (x = 0) e x^2 = 16 (x = 4 ou x = -4). Portanto, as soluções reais são x = 0, 4 e -4.
O aluno fatora corretamente até x^2(x^2 - 16) = 0, mas esquece o fator x^2 e considera apenas x^2 - 16 = 0, perdendo a raiz x = 0. Também pode ter dividido a equação por x^2 sem registrar a perda de solução.
Por que engana: Encontrar apenas x=4 e x=-4, esquecendo a raiz x=0.
O aluno ignora o termo -16x^2 e resolve apenas x^4 = 16, obtendo x^2 = 4 e, portanto, x = 2 ou x = -2. Não usa a equação dada, que é x^4 - 16x^2 = 0.
O aluno reconhece que x^2 = 0 leva a x = 0, mas acredita que x^2 - 16 = 0 não tem solução real, ou esquece de resolver esse fator. Não percebe que 16 é um quadrado perfeito cuja raiz quadrada tem dois sinais.
O aluno encontra x = 0 e x = 4 corretamente, mas descarta o valor negativo x = -4 por esquecer que, na raiz quadrada, os dois sinais são soluções reais de x^2 = 16.
Raio-X da questão
Equação biquadrada fatorável.
Resolver equação biq
Fatoração por fator comum. · Resolução de equações quadráticas simples.
Teorema do produto nulo e raízes quadradas.
Encontrar apenas x=4 e x=-4, esquecendo a raiz x=0.
Contexto científico
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