Um engenheiro está testando um tipo especial de mola que segue um padrão matemático diferente do usual. Para…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um engenheiro está testando um tipo especial de mola que segue um padrão matemático diferente do usual. Para prever certos comportamentos da mola, ele utiliza a equação x^4 - 13x^2 + 36 = 0, em que x é uma constante relacionada ao material. Para facilitar a resolução, o engenheiro faz a substituição de variável y = x^2, convertendo a equação em y^2 - 13y + 36 = 0. Após realizar a substituição y = x^2 na equação biquadrática utilizada pelo engenheiro, quantas soluções reais distintas para x podem ser encontradas? Justifique sua resposta considerando os possíveis valores de y.
- A) Duas soluções reais distintas podem ser encontradas para x, pois a equação de segundo grau terá apenas dois valores positivos de y.
- B) Apenas uma solução real pode ser encontrada para x, pois a equação biquadrática só teria uma raiz real no caso em que y tem valor único.
- C) Quatro soluções reais distintas podem ser encontradas para x, pois a equação de segundo grau em y possui duas soluções positivas e, para cada valor de y > 0, há dois valores reais de x: um positivo e um negativo.
- D) Três soluções reais distintas podem ser encontradas para x, caso uma das raízes de y seja zero e a outra positiva.
- E) Nenhuma solução real pode ser encontrada, já que nem toda equação do quarto grau necessariamente terá raízes reais.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Resolvo a equação em y, y^2 - 13y + 36 = 0. Procuro dois números cuja soma é 13 e cujo produto é 36, que são 4 e 9. Logo, y = 4 ou y = 9. Passo 2: Volto à substituição y = x^2. Para y = 4, temos x^2 = 4, o que dá x = 2 ou x = -2. Passo 3: Para y = 9, temos x^2 = 9, o que dá x = 3 ou x = -3. Passo 4: Como 2, -2, 3 e -3 são quatro valores reais distintos, a equação original x^4 - 13x^2 + 36 = 0 tem quatro soluções reais distintas. Passo 5: A alternativa A está errada porque ignora que cada valor positivo de y gera dois valores de x, um positivo e um negativo. Passo 6: A alternativa B está errada porque a equação em y tem duas raízes reais, e cada uma gera duas raízes em x. Passo 7: A alternativa D está errada porque y = 0 não é raiz da equação em y, já que 36 não é zero. Passo 8: A alternativa E está errada porque a equação em questão é fatorável e tem raízes reais, e a dúvida geral sobre equações de quarto grau não se aplica a ela. Conclusão: a alternativa C está correta, e o gabarito oficial está correto.
💡 Dica: Resolva a equação em y e verifique o sinal de cada raiz antes de retornar a x.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que, como a equação em y tem duas raízes positivas, há apenas duas soluções em x. Ele não percebe que cada valor positivo de y fornece dois valores de x, um positivo e um negativo.
Por que engana: Contar cada valor positivo de y como apenas uma solução de x, ignorando os sinais positivo e negativo.
O aluno supõe que uma equação biquadrática só pode ter uma raiz real quando y assume um único valor. Ele não considera que cada raiz positiva de y gera duas raízes reais em x.
A equação y^2 - 13y + 36 = 0 tem duas soluções reais positivas para y, já que o discriminante é positivo e 36 é positivo. Como x^2 = y, para cada valor positivo de y existem duas soluções reais para x (x = raiz quadrada de y e x = -raiz quadrada de y), totalizando quatro soluções reais distintas.
O aluno acredita que uma das raízes em y é zero, o que daria um x = 0 e, com a outra raiz positiva, três soluções. Ele errou ao calcular as raízes, pois os valores corretos são 4 e 9, e nenhum é zero.
O aluno generaliza a ideia de que equações de quarto grau nem sempre têm raízes reais e aplica isso a esta equação. Ele não percebe que a equação é biquadrática e se reduz a uma equação de segundo grau com raízes reais.
Raio-X da questão
Relação entre as raízes de y=x² e as raízes reais de x.
Determinar o número
Resolução de equações quadráticas. · Raiz quadrada e pares de raízes simétricas.
Equações biquadradas e análise do número de soluções reais.
Contar cada valor positivo de y como apenas uma solução de x, ignorando os sinais positivo e negativo.
Contexto fictício de
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