Por que alguns mosaicos antigos mantêm padrões simétricos mesmo após séculos? Pesquisadores analisaram um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que alguns mosaicos antigos mantêm padrões simétricos mesmo após séculos? Pesquisadores analisaram um exemplar em que o artesão desenhou um quadrilátero ABCD e traçou suas diagonais AC e BD, que se cruzam em O. Medições indicaram que AO = CO e BO = DO. Além disso, os segmentos OA, OB, OC e OD dividem o interior da figura em quatro regiões triangulares de áreas iguais. Esses dados sugerem uma propriedade particular de ABCD. Analise o texto-base e identifique que tipo de quadrilátero ABCD representa com base na congruência dos triângulos formados pelas diagonais.
- A) Trapézio
- B) Paralelogramo
- C) Deltoide
- D) Retângulo
- E) Quadrilátero côncavo
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Os dados do enunciado dizem que AO = CO e BO = DO, ou seja, as diagonais AC e BD se cortam em O e são divididas ao meio por esse ponto. Um quadrilátero cujas diagonais se bisseccionam mutuamente é um paralelogramo. Essa é a propriedade central do problema. Passo 2: A condição de áreas iguais não muda a conclusão. Os triângulos AOB e COD são congruentes pelo caso LAL, pois AO = CO, BO = DO e os ângulos AOB e COD são opostos pelo vértice. Do mesmo modo, BOC e DOA são congruentes. Como a área de um triângulo formado por duas metades de diagonais com ângulo θ entre elas é (1/2) x OA x OB x sen(θ), e sen(θ) = sen(180 - θ), as quatro áreas são iguais em qualquer paralelogramo. Logo, o dado de áreas confirma a simetria, mas não identifica uma figura mais específica. Passo 3: Por isso a resposta é o paralelogramo (alternativa B), que coincide com o gabarito oficial. Passo 4: Por que as demais estão erradas. Trapézio: só exige um par de lados paralelos, e suas diagonais não se bisseccionam em geral. Deltoide: tem apenas uma diagonal que é eixo de simetria e a corta perpendicularmente, de modo que as diagonais não se bisseccionam mutuamente. Retângulo: é um paralelogramo com diagonais de mesmo comprimento, mas o enunciado não fornece AC = BD, então essa propriedade não pode ser concluída. Quadrilátero côncavo: suas diagonais não se cruzam dentro da figura, ao passo que aqui AC e BD se encontram em O, no interior do quadrilátero convexo ABCD.
💡 Dica: Use a propriedade das diagonais que se cortam mutuamente ao meio para identificar o quadrilátero.
Alternativa por alternativa
O aluno acha que, por a figura parecer alongada ou ter dois lados opostos quase paralelos, basta um par de lados paralelos para classificá-la como trapézio. Ele ignora que os dados das diagonais exigem uma propriedade mais forte.
Como AO = CO e BO = DO, as diagonais se cortam ao meio. Os triângulos opostos formados pelas diagonais são congruentes, o que caracteriza um paralelogramo.
O aluno confunde a simetria do deltoide, que tem uma diagonal como eixo perpendicular, com a bisseção mútua das diagonais. Ele supõe que AO = CO e BO = DO descrevem uma figura com um único eixo de simetria.
O aluno associa a presença de diagonais que se cruzam ao meio e áreas iguais à ideia de retângulo, mas o retângulo exige que as diagonais tenham o mesmo comprimento. O enunciado não informa AC = BD, e o aluno acrescenta essa informação por conta própria.
Por que engana: Pode confundir a propriedade de as diagonais se cortarem ao meio com características específicas de retângulos ou deltoides, sem reconhecer que ela caracteriza os paralelogramos.
O aluno pensa que, por as quatro regiões triangulares terem áreas iguais, a figura precisa ter um formato não convexo, como uma seta. Ele não percebe que, se as diagonais se cruzam no interior do quadrilátero, a figura é convexa.
Raio-X da questão
Propriedades das diagonais do paralelogramo
avaliacao
Propriedades dos quadriláteros · Congruência de triângulos
Revise como as diagonais de um paralelogramo se intersectam e as relações de congruência entre os triângulos formados.
Pode confundir a propriedade de as diagonais se cortarem ao meio com características específicas de retângulos ou deltoides, sem reconhecer que ela caracteriza os paralelogramos.
multiculturalismo
tomada_decisao
historico
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