Por que três varetas não formam um triângulo mesmo quando parecem ter tamanho compatível? Um professor de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que três varetas não formam um triângulo mesmo quando parecem ter tamanho compatível? Um professor de geometria propõe um algoritmo de construção: (1) traçar segmento AB de comprimento c; (2) com centro em A, traçar um arco de raio b; (3) com centro em B, traçar um arco de raio a; (4) marcar a interseção C dos arcos e unir C a A e B. Observou-se que, se os arcos não se cruzarem, não é possível localizar C. Para evitar esse impasse, é preciso checar uma condição antes do passo 1. Identifique a condição que deve ser verificada antes do passo 1 para garantir que as medidas a, b e c formem um triângulo.
- A) Verificar se cada segmento é menor que a diferença dos outros dois.
- B) Verificar se um dos segmentos é igual à soma dos outros dois.
- C) Verificar se a soma dos três segmentos é um número par.
- D) Verificar se cada segmento é menor que a soma dos outros dois.
- E) Verificar se cada segmento é maior que a soma dos outros dois.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Os arcos de raio b (centro A) e de raio a (centro B) só se cruzam quando a distância entre os centros, que é c, é menor que a soma dos raios, ou seja, c < a + b. Além disso, nenhum arco pode ficar totalmente dentro do outro, o que exige que a diferença dos raios seja menor que a distância entre os centros. Isso dá |a - b| < c.
- Juntando as condições para os três lados, temos a < b + c, b < a + c e c < a + b. Essas três desigualdades dizem que cada segmento é menor que a soma dos outros dois, que é a alternativa D. Se alguma delas falhar, os arcos não se cruzam e o ponto C não existe.
- A alternativa A está errada, pois a diferença dos outros dois é sempre menor que a soma deles e a condição exigida é a da soma.
- A alternativa B está errada, pois se um lado for igual à soma dos outros dois, os arcos se tocam em um único ponto sobre a reta AB e o triângulo fica degenerado, sem altura.
- A alternativa C está errada, pois a paridade da soma das medidas não tem relação com a existência do triângulo.
- A alternativa E está errada, pois inverte a desigualdade: exigir que cada lado seja maior que a soma dos outros dois torna impossível a interseção dos arcos.
- Portanto, a condição a verificar antes do passo 1 é que cada medida seja menor que a soma das outras duas, alternativa D, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Aplique a desigualdade triangular a cada uma das três medidas.
Alternativa por alternativa
O aluno confunde a condição de existência com a diferença entre os lados, achando que cada lado deve ser menor que a diferença dos outros dois. Assim, usa uma comparação com subtração no lugar da soma.
Por que engana: Confundir a condição de existência do triângulo com a comparação entre um lado e a diferença ou a soma total dos outros segmentos.
O aluno lembra que um caso limite envolve a soma dos lados e acredita que a condição exige igualdade em vez de desigualdade. Não percebe que a igualdade gera um triângulo degenerado, em que os arcos apenas se tocam.
O aluno aplica uma regra de paridade, que não tem relação com geometria, por senso comum de que somas pares são especiais. Não associa a existência do triângulo à relação entre os comprimentos.
Para formar um triângulo, o comprimento de cada lado precisa ser menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados.
O aluno inverte a desigualdade da desigualdade triangular, achando que cada lado deve ser maior que a soma dos outros dois. Não percebe que, nesse caso, os arcos nunca se cruzam.
Raio-X da questão
Condição de existência do triângulo
avaliacao
Soma e comparação de segmentos · Propriedades dos triângulos
Revise a desigualdade triangular: cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois.
Confundir a condição de existência do triângulo com a comparação entre um lado e a diferença ou a soma total dos outros segmentos.
tomada_decisao
abstrato
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Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog