— Preciso descobrir em qual ponto minhas vendas rendem mais lucro, ponderou Ana, dona de uma padaria…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Preciso descobrir em qual ponto minhas vendas rendem mais lucro, ponderou Ana, dona de uma padaria artesanal. Ela percebeu que o lucro diário, em reais, ao vender x dezenas de bolos, segue a função P(x)= -5x^2 +150x -600. Observou também que custos iniciais fixos somam R$ 600 por dia e que, além disso, cada dezena extra vendida aumenta a receita em R$ 150, mas gera custo variável que faz o lucro decrescer após certo ponto. A partir do texto-base, determine a quantidade de dezenas de bolos que maximiza o lucro diário da padaria.
- A) 10 dezenas
- B) 15 dezenas
- C) 12 dezenas
- D) 20 dezenas
- E) 30 dezenas
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A função do lucro é P(x) = -5x^2 + 150x - 600. Como o coeficiente de x^2 é negativo (a = -5), a parábola tem concavidade para baixo e o lucro máximo ocorre no vértice. Passo 2: A abscissa do vértice é x = -b/(2a) = -150/(2 * (-5)) = -150/(-10) = 15. Passo 3: Para confirmar, calcula-se P(15) = -5 * 225 + 150 * 15 - 600 = -1125 + 2250 - 600 = 525 reais por dia, que é o lucro máximo. Passo 4: A alternativa A (10 dezenas) está errada porque P(10) = -500 + 1500 - 600 = 400 reais, menos que P(15). Passo 5: A alternativa C (12 dezenas) está errada porque P(12) = -720 + 1800 - 600 = 480 reais, ainda abaixo do lucro em 15 dezenas. Passo 6: A alternativa D (20 dezenas) está errada porque P(20) = -2000 + 3000 - 600 = 400 reais, pois a partir do vértice o lucro já decresce. Passo 7: A alternativa E (30 dezenas) está errada porque P(30) = -4500 + 4500 - 600 = -600 reais, ou seja, prejuízo. Passo 8: O gabarito oficial B está correto, pois 15 dezenas é o ponto que maximiza o lucro diário.
💡 Dica: Use a fórmula do vértice da parábola para encontrar o valor de x que maximiza o lucro.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que um número redondo e moderado de vendas, como 10, já corresponde ao melhor ponto, sem aplicar a fórmula do vértice nem comparar os lucros dos valores possíveis.
Por que engana: Escolher o valor de x que não corresponde ao vértice da parábola, confundindo máximo com mínimo ou valores arbitrários.
O vértice da parábola P(x)= -5x^2+150x-600 ocorre em x= -b/(2a)= -150/(2·-5)=15 dezenas.
O aluno calcula o vértice de forma aproximada ou com erro numérico, chegando a um valor próximo de 15 mas incorreto, sem verificar o lucro obtido com a substituição na função.
O aluno confunde o ponto de máximo com um ponto intermediário entre as raízes da função ou com o ponto onde o lucro ainda é alto, ignorando que, após o vértice, o lucro já decresce.
O aluno calcula -b/a = 150/5 = 30, esquecendo o fator 2 da fórmula do vértice, ou confunde o máximo com o ponto em que o lucro se anula, sem perceber que P(30) é negativo.
Raio-X da questão
função quadrática, máximo lucro
avaliacao
função quadrática básica · cálculo do vértice da parábola
estude função quadrática e cálculo do vértice
Escolher o valor de x que não corresponde ao vértice da parábola, confundindo máximo com mínimo ou valores arbitrários.
tomada_decisao
cotidiano
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