No ateliê de mosaicos de um centro cultural, as peças de revestimento são hexágonos regulares de lado…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Representar graficamente a variação da área e do perímetro de um polígono regular quando os comprimentos de seus lados variam, analisando e classificando as funções envolvidas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No ateliê de mosaicos de um centro cultural, as peças de revestimento são hexágonos regulares de lado ajustável, usados para montar painéis decorativos. Em um teste, foram confeccionadas peças com lados de 2 cm, 4 cm e 6 cm. Nessas peças, os perímetros medidos foram, respectivamente, 12 cm, 24 cm e 36 cm. As áreas correspondentes foram 6 raiz quadrada de 3 cm^2, 24 raiz quadrada de 3 cm^2 e 54 raiz quadrada de 3 cm^2. O responsável pelo projeto anotou que, ao variar o lado da peça, o gráfico do perímetro e o da área não têm o mesmo comportamento, embora ambos crescam com a medida do lado. Considere as informações do texto-base e identifique a expressão que representa corretamente o comportamento do perímetro P(x) e da área A(x), em função do lado x, dessas peças hexagonais.
- A) P(x)=6x e A(x)=(3 raiz quadrada de 3/2)x^2
- B) P(x)=6x e A(x)=6x
- C) P(x)=12x e A(x)=(3 raiz quadrada de 3/2)x
- D) P(x)=6x^2 e A(x)=(3 raiz quadrada de 3/2)x^2
- E) P(x)=3x e A(x)=6x^2
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Um hexágono regular de lado x tem 6 lados iguais, então o perímetro é P(x) = 6x (soma dos 6 lados, cada um com medida x).
- A área de um hexágono regular pode ser dividida em 6 triângulos equiláteros de lado x. A área de cada triângulo equilátero é (raiz de 3 / 4) x^2, logo a área total é A(x) = 6 · (raiz de 3 / 4) x^2 = (3 raiz de 3 / 2) x^2.
- Conferência com os dados do texto. Para x = 2: P = 12 cm e A = (3 raiz de 3 / 2) · 4 = 6 raiz de 3 cm^2. Para x = 4: P = 24 cm e A = (3 raiz de 3 / 2) · 16 = 24 raiz de 3 cm^2. Para x = 6: P = 36 cm e A = (3 raiz de 3 / 2) · 36 = 54 raiz de 3 cm^2. Todos batem com os valores medidos.
- Por isso a alternativa A é a correta, e ela coincide com o gabarito oficial. O perímetro cresce de forma linear (proporcional a x), enquanto a área cresce de forma quadrática (proporcional a x^2), o que explica a observação do responsável pelo projeto.
- Por que as demais estão erradas: a B atribui à área um crescimento linear, o que contradiz a dependência quadrática da área; a C dobra o perímetro (12x), quando o hexágono tem 6 lados, e também usa crescimento linear para a área; a D trata o perímetro como quadrático, quando ele é apenas linear; a E usa 3x como perímetro, o que corresponderia a um polígono de 3 lados, e a área 6x^2 não corresponde ao hexágono regular.
💡 Dica: Use as fórmulas do perímetro e área do hexágono regular para montar as expressões.
Alternativa por alternativa
Para um hexagono regular, o perimetro e a soma de 6 lados iguais; a area varia com o quadrado do lado, como mostram os valores dados.
O aluno acerta o perímetro, mas supõe que a área de uma figura cresce na mesma proporção do lado, como se fosse uma medida de contorno. Ele não percebe que a área depende de duas dimensões e por isso cresce com o quadrado do lado.
Por que engana: Confundir a fórmula do perímetro com a da área, ou aplicar incorretamente a relação entre lado e área.
O aluno calcula o perímetro como 12x, possivelmente contando os lados em dobro ou confundindo com o perímetro de outra figura, e atribui à área um crescimento linear. Ele mistura as fórmulas de perímetro e de área e não reconhece a relação quadrática da área.
O aluno acerta a área, mas confunde o perímetro com a área e o escreve como 6x^2. Ele acha que o perímetro de uma figura também cresce com o quadrado do lado, sem perceber que o perímetro é a soma linear dos lados.
O aluno escolhe P(x) = 3x, o que corresponde a um polígono de 3 lados e não a um hexágono, e A(x) = 6x^2, que não é a área do hexágono regular. Parece que ele não associou a figura à quantidade correta de lados nem à fórmula da área com raiz de 3.
Raio-X da questão
perímetro e área hexágono
avaliacao
fórmulas perímetro hexágono · fórmulas área hexágono
Estude as fórmulas de perímetro e área do hexágono regular.
Confundir a fórmula do perímetro com a da área, ou aplicar incorretamente a relação entre lado e área.
pensamento_critico
cotidiano
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