Uma escola tem 800 alunos, dos quais 480 usam transporte público. Seleciona-se aleatoriamente, sem reposição…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma escola tem 800 alunos, dos quais 480 usam transporte público. Seleciona-se aleatoriamente, sem reposição, uma amostra de 50 alunos. (a) Calcule a probabilidade exata de que exatamente 30 usem transporte público. (b) Discuta se as seleções podem ser tratadas como independentes e quando é aceitável a aproximação binomial.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
a) Modelo exato: distribuição hipergeométrica. P(X=30)= [C(480,30)·C(320,20)] / C(800,50). b) Seleções sem reposição são dependentes porque a composição da população muda; a aproximação binomial (n=50, p=480/800=0,6) é razoável apenas se a amostra for pequena em relação à população (regra prática: n/N = 0,05). Aqui n/N = 50/800 = 0,0625 > 0,05, portanto a dependência não é desprezível e recomenda-se usar a hipergeométrica ou aplicar correção para população finita.
Explicação
A distribuição hipergeométrica é apropriada para calcular a probabilidade em situações de amostragem sem reposição, pois considera as mudanças na composição da população. As seleções são dependentes, pois a escolha de um aluno afeta a probabilidade de seleção dos próximos, e a aproximação binomial só é válida quando a amostra é pequena em relação à população, o que não se aplica aqui. Portanto, é crucial usar a hipergeométrica ou aplicar uma correção para a população finita para obter resultados precisos.
Raio-X da questão
probabilidade binomial
avaliacao
probabilidade · distribuicao binomial
Revisar a fórmula da probabilidade binomial e suas condições de uso.
O aluno pode confundir a independência das seleções, acreditando que a amostra de 50 alunos não afeta a proporção de alunos que usam transporte público.
ciencia_tecnologia
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