Uma moeda justa é lançada. Se cair cara, retira-se uma bola de um saco com 5 bolas vermelhas e 3 azuis com…

Questão

Uma moeda justa é lançada. Se cair cara, retira-se uma bola de um saco com 5 bolas vermelhas e 3 azuis com reposição; se cair coroa, retiram-se duas bolas sem reposição. a) Defina os eventos M = 'moeda cai cara' e C = 'primeira bola retirada é vermelha'. Mostre se M e C são independentes. b) Calcule P(A), onde A = 'moeda cai cara e a primeira bola é vermelha'. c) Calcule P(B), onde B = 'moeda cai coroa e as duas retiradas sem reposição dão, nesta ordem, vermelha então azul'. d) Verifique se A e B são mutuamente exclusivos e explique, em termos do espaço amostral, por que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço é 1.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) P(M)=1/2. Se M ocorre (com reposição), P(C|M)=5/8. Se não M (coroa, sem reposição), a probabilidade da primeira bola ser vermelha também é 5/8 (5 vermelhas entre 8 totais). Como P(C|M)=P(C)=5/8, M e C são independentes. b) P(A)=P(M)·P(C|M)=(1/2)·(5/8)=5/16. c) Condicional a coroa: probabilidade de retirar vermelha então azul sem reposição = (5/8)·(3/7)=15/56. Assim P(B)=P(coroa)·15/56=(1/2)·15/56=15/112. d) A requer moeda = cara; B requer moeda = coroa; não podem ocorrer simultaneamente, logo são mutuamente exclusivos. Quanto à soma das probabilidades do espaço amostral: para cada resultado da moeda (cada com probabilidade 1/2) a soma das probabilidades de todas as sequências de retirada possíveis condicionadas naquele resultado é 1; portanto, somando sobre os dois ramos da moeda obtemos (1/2)·1 + (1/2)·1 = 1, o que confirma que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é 1.

Explicação

A análise da independência entre os eventos M e C é feita comparando as probabilidades condicionais, mostrando que a ocorrência de M não afeta a probabilidade de C. O cálculo das probabilidades A e B considera as diferentes situações de retirada de bolas, levando em conta a reposição ou não, e as respectivas probabilidades associadas. A verificação da exclusividade entre A e B é fundamentada na impossibilidade de ocorrer os dois eventos simultaneamente, e a soma das probabilidades do espaço amostral é garantida pela estrutura das probabilidades condicionais que se somam a 1.

Raio-X da questão

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