Uma pesquisa com 200 alunos do 9.º ano registrou os seguintes resultados: 60 jogam futebol e trazem almoço; 40…

Questão

Uma pesquisa com 200 alunos do 9.º ano registrou os seguintes resultados: 60 jogam futebol e trazem almoço; 40 jogam futebol e não trazem almoço; 70 não jogam futebol e trazem almoço; 30 não jogam futebol e não trazem almoço. a) Se um aluno é escolhido aleatoriamente, calcule a probabilidade de que ele jogue futebol e traga almoço. b) Se dois alunos são escolhidos sem reposição, calcule a probabilidade de que ambos joguem futebol. c) Se dois alunos são escolhidos com reposição, calcule a probabilidade de que ambos joguem futebol. d) Com base nos cálculos, analise se os eventos “joga futebol” e “traz almoço” são independentes para a escolha de um único aluno e explique por que a situação muda entre seleção com e sem reposição.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) P(joga futebol e traz almoço)=60/200=0,30. b) Sem reposição: P(primeiro joga)=100/200; P(segundo joga | primeiro joga)=99/199. Logo P= (100/200)·(99/199)=99/398 ˜0,249. c) Com reposição: P(primeiro joga)=100/200=1/2; como há reposição, P(segundo joga)=1/2. Logo P=(1/2)·(1/2)=1/4=0,25. d) Verificação de independência para um único sorteio: P(joga)=100/200=0,50; P(traz almoço)=130/200=0,65. Se fossem independentes, P(joga ? traz)=0,50·0,65=0,325, diferente de 0,30 observado; portanto, os eventos não são independentes na amostra. Explicação da reposição: na seleção com reposição as probabilidades marginais não mudam entre sorteios, tornando as probabilidades conjuntas produto das marginais; sem reposição a segunda probabilidade depende do resultado do primeiro sorteio, gerando dependência entre os eventos de duas retiradas.

Explicação

Os cálculos de probabilidade foram realizados com base nas informações fornecidas sobre os alunos, utilizando as fórmulas adequadas para eventos com e sem reposição. A análise da independência dos eventos mostrou que, ao considerar um único sorteio, as probabilidades não se multiplicam como esperado, indicando que os eventos não são independentes. A diferença entre os métodos de seleção se deve ao fato de que, sem reposição, o resultado de um sorteio afeta as probabilidades do próximo, enquanto com reposição as probabilidades permanecem constantes.

Raio-X da questão

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