Em um estudo sobre o lançamento de um foguete a partir da superfície terrestre, os pesquisadores consideram…

Questão

Em um estudo sobre o lançamento de um foguete a partir da superfície terrestre, os pesquisadores consideram desprezível a resistência do ar e utilizam a conservação da energia mecânica. Para que um corpo de massa m escape do campo gravitacional de um planeta, sua energia cinética inicial deve compensar o trabalho necessário para levá-lo da superfície, de raio R, até uma distância muito grande. Assim, parte-se de (1/2)mv_e² = GMm/R. Na superfície, a aceleração da gravidade é dada por g = GM/R². Considere R = 6,4 × 106 m e g = 10 m/s². Com base no texto e nos dados fornecidos, qual expressão para a velocidade de escape e qual valor aproximado devem ser usados no estudo do lançamento do foguete?

1. A) v_e = √(gR) = 8,00 × 10³ m/s.
2. B) v_e = √(2g/R) = 1,77 × 10⁻³ m/s.
3. C) v_e = 2gR = 1,28 × 10⁸ m/s.
4. D) v_e = √(2gR) = 1,13 × 10⁴ m/s.
5. E) v_e = √(gR/2) = 5,66 × 10³ m/s.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Igualando a energia cinética à energia potencial gravitacional necessária para escapar, temos (1/2)mv_e² = GMm/R. Cancelando m e multiplicando por 2, fica v_e² = 2GM/R.
2. O enunciado dá g = GM/R², logo GM = gR². Substituindo, v_e² = 2gR²/R = 2gR, e portanto v_e = raiz de (2gR).
3. Com g = 10 m/s² e R = 6,4 × 10^6 m, temos 2gR = 2 × 10 × 6,4 × 10^6 = 1,28 × 10^8 m²/s².
4. Extraindo a raiz, v_e = raiz de 1,28 × 10^8 = 1,13 × 10^4 m/s, que é o valor da alternativa D.
5. A alternativa A está errada porque esquece o fator 2 da energia cinética (usa v² = gR). A alternativa B está errada porque coloca R no denominador, o que dá unidades incoerentes com velocidade. A alternativa C está errada porque não extrai a raiz quadrada, e 2gR é um quadrado de velocidade, não uma velocidade. A alternativa E está errada porque divide por 2 dentro da raiz, quando o correto é multiplicar por 2.
6. Conclusão: a expressão correta é v_e = raiz de (2gR) ≈ 1,13 × 10^4 m/s, em concordância com o gabarito oficial D.

💡 Dica: Utilize a relação dada para derivar a fórmula da velocidade de escape.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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