Em uma pesquisa, 60% dos alunos preferem matemática. Selecionando aleatoriamente um aluno três vezes com…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma pesquisa, 60% dos alunos preferem matemática. Selecionando aleatoriamente um aluno três vezes com reposição (eventos independentes), qual a probabilidade de exatamente dois escolhidos preferirem matemática?
- A) A probabilidade de exatamente dois preferirem matemática é 0,6.
- B) Usa-se a combinação C(2,2) para calcular.
- C) A probabilidade total é 0,2, pois soma todos os casos.
- D) Evento não pode ser repetido; é apenas uma escolha.
- E) P = C(3,2)·0,6²·0,4 = 3·0,36·0,4 = 0,432
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique o modelo. Cada escolha é independente (há reposição), a probabilidade de sucesso (aluno prefere matemática) é p = 0,6 e a de fracasso é q = 0,4. O número de sucessos em n = 3 tentativas segue a distribuição binomial.
- Escreva a fórmula. P(exatamente k sucessos) = C(n,k) · p^k · q^(n-k). Aqui n = 3 e k = 2.
- Calcule o coeficiente binomial. C(3,2) = 3, pois há 3 maneiras de escolher quais das 3 escolhas são os dois que preferem matemática (sim-sim-não, sim-não-sim, não-sim-sim).
- Calcule as potências. 0,6^2 = 0,36 e 0,4^1 = 0,4.
- Multiplique. P = 3 · 0,36 · 0,4 = 0,432. Portanto a resposta é 0,432, alternativa E.
- Por que as outras estão erradas. A: a probabilidade de uma escolha ser de quem prefere matemática é 0,6, mas não é a de exatamente duas em três. B: C(2,2) = 1 não corresponde ao problema, pois o número de combinações depende de n = 3 e k = 2, isto é, C(3,2). C: 0,2 não resulta de nenhum cálculo correto; somar os casos daria 1, não 0,2. D: a reposição existe justamente para que o evento se repita; cada escolha é independente e é preciso considerar as três.
💡 Dica: Use a distribuição binomial: escolha as posições dos dois sucessos e multiplique pelas probabilidades correspondentes.
Alternativa por alternativa
Confunde a probabilidade de um único aluno preferir matemática com a probabilidade de exatamente dois em três escolhas. Ignora o número de escolhas e a combinatória.
Por que engana: O aluno pode considerar apenas a probabilidade de dois sucessos, sem contar as três ordens possíveis, ou esquecer de multiplicar pela probabilidade de fracasso na terceira escolha.
Acredita que o número de combinações é C(2,2), usando o número de sucessos como se fosse o total de escolhas. Confunde n com k na fórmula.
Supõe que a probabilidade total deve ser obtida por soma de casos sem ponderação, e chega a um valor sem sentido. Não percebe que a soma de todas as probabilidades da binomial é 1 e que o evento pedido é apenas um dos casos.
Interpreta a reposição como se o evento não pudesse se repetir, achando que só há uma escolha. Na verdade, com reposição, o mesmo tipo de escolha pode ocorrer várias vezes e as escolhas são independentes.
Evento binomial: exatamente 2 sucessos em 3 tentativas independentes com p=0,6. Use combinação C(3,2)=3 e formule 3·p²·(1-p).
Raio-X da questão
distribuição binomial de probabilidade
avaliacao
probabilidade de eventos independentes · combinações simples
Revise eventos independentes, combinações e a fórmula da distribuição binomial para calcular exatamente dois sucessos.
O aluno pode considerar apenas a probabilidade de dois sucessos, sem contar as três ordens possíveis, ou esquecer de multiplicar pela probabilidade de fracasso na terceira escolha.
tomada_decisao
abstrato
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