Duas caixas, X e Y, têm cada uma 5 bolas. Caixa X: 3 vermelhas e 2 azuis. Caixa Y: 1 vermelha e 4 azuis…

Questão

Duas caixas, X e Y, têm cada uma 5 bolas. Caixa X: 3 vermelhas e 2 azuis. Caixa Y: 1 vermelha e 4 azuis. Escolhe-se uma caixa ao acaso (P(X)=P(Y)=1/2) e, em seguida, retira-se uma bola da caixa escolhida. Defina os eventos: A = “sai uma bola vermelha” e B = “foi escolhida a caixa X”. Calcule: P(B), P(A), P(A n B), P(A B) e P(B A). Em seguida, explique se A e B são eventos independentes ou dependentes, justificando com cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

P(B)=1/2 (escolher a caixa X). P(A | B)=P(vermelha | X)=3/5. P(A | B^c)=P(vermelha | Y)=1/5. P(A)=P(B)·P(A | B)+P(B^c)·P(A | B^c)= (1/2)·(3/5)+(1/2)·(1/5)= (3+1)/10=4/10=2/5. P(A n B)=P(B)·P(A | B)=(1/2)·(3/5)=3/10. Verifique independência: P(B)·P(A)=(1/2)·(2/5)=1/5=2/10, que é diferente de P(A n B)=3/10; portanto A e B são dependentes. Finalmente, P(B | A)=P(A n B)/P(A)=(3/10)/(2/5)=(3/10)/(4/10)=3/4. Interpretação: sabendo que saiu uma bola vermelha, a probabilidade de ter sido escolhida a caixa X aumenta de 1/2 para 3/4, o que confirma dependência entre os eventos.

Explicação

Os cálculos realizados demonstram como as probabilidades dos eventos A e B se relacionam, mostrando que a escolha da caixa influencia a probabilidade de se retirar uma bola vermelha. A verificação da independência revela que a probabilidade conjunta de A e B não é igual ao produto das probabilidades individuais, indicando que os eventos são dependentes. A interpretação final destaca a mudança na probabilidade de escolha da caixa após a observação de uma bola vermelha, reforçando essa dependência.

Raio-X da questão

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