Do conjunto {1,2,...,15} sorteiam-se dois números aleatoriamente, sem reposição, observando-se a ordem. Seja A…

Questão

Do conjunto {1,2,...,15} sorteiam-se dois números aleatoriamente, sem reposição, observando-se a ordem. Seja A = 'o 1º número é par' e B = 'o 2º número é múltiplo de 3'. Calcule P(B|A) e discuta se A e B são dependentes. Apresente os cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Números múltiplos de 3 em {1,...,15}: {3,6,9,12,15} (5 elementos). Números pares: {2,4,6,8,10,12,14} (7 elementos). Condicionando em A, o 1º é uniformemente um dos 7 pares. Se o 1º escolhido for 6 ou 12 (2 casos), restam 4 múltiplos de 3 entre os 14 remanescentes ? probabilidade 4/14. Se o 1º for um par que não é múltiplo de 3 (5 casos), restam 5 múltiplos de 3 entre 14 ? probabilidade 5/14. Assim, usando a média condicional uniforme sobre os 7 pares: P(B|A) = [2·(4/14) + 5·(5/14)]/7 = (8+25)/(14·7) = 33/98 ˜ 0,3367. Como P(B)=5/15=1/3˜0,3333 e P(B|A)˜0,3367 ? P(B), conclui-se que A e B são dependentes (a ocorrência de A altera ligeiramente a probabilidade de B).

Explicação

A solução apresenta uma análise detalhada das probabilidades condicionais, considerando os casos em que o primeiro número sorteado é par e como isso afeta a quantidade de múltiplos de 3 disponíveis para o segundo sorteio. A média ponderada leva em conta a distribuição uniforme dos pares, resultando em uma probabilidade de B condicionada a A que é ligeiramente maior do que a probabilidade incondicional de B. Isso demonstra que a escolha do primeiro número influencia a probabilidade do segundo, confirmando a dependência entre os eventos A e B.

Raio-X da questão

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