Considere um planeta homogêneo esférico de massa M = 6,00×10^24 kg e raio R = 6,40×10^6 m. Um túnel reto…

Questão

Considere um planeta homogêneo esférico de massa M = 6,00×10^24 kg e raio R = 6,40×10^6 m. Um túnel reto atravessa o planeta pelo centro. Uma massa m = 80,0 kg é solta sem atrito da superfície. (a) Mostre que a aceleração radial é a(r) = - (G·M/R^3)·r. (b) Calcule o período T do movimento oscilatório e a velocidade máxima v_max no centro. Use G = 6,67×10^-11 N·m^2/kg^2. (Forneça expressões e valores numéricos em SI.)

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Dentro de um planeta homogêneo a massa interior ao raio r é M_r = M (r^3/R^3). A intensidade da força gravitacional sobre m: F = G M_r m / r^2 = G M m r / R^3. Assim a aceleração radial: a(r)=F/m = - (G M / R^3) r, sinal negativo indicando direção ao centro. Isso é equação de MHS com ?^2 = G M / R^3. Portanto T = 2p sqrt(R^3/(G M)). Substituindo: R^3 = (6,40×10^6 m)^3 = 2,62144×10^20 m^3; G M = 6,67×10^-11·6,00×10^24 = 4,002×10^14 m^3/s^2. Logo R^3/(G M)=6,548×10^5 s^2, sqrt=809,25 s. T = 2p·809,25 s = 5,088 s ˜ 5,09×10^3 s (˜1 h 24,8 min). Velocidade máxima no centro: v_max = ? R = R·sqrt(G M / R^3) = sqrt(G M / R) = (1/809,25 s)·6,40×10^6 m = 7,91×10^3 m/s. (Resultados: T ˜ 5,09×10^3 s; v_max ˜ 7,91×10^3 m/s.)

Explicação

A solução utiliza a lei da gravitação universal para determinar a força gravitacional e, consequentemente, a aceleração radial da massa em movimento, que se comporta como um movimento harmônico simples. O cálculo do período do movimento oscilatório é baseado na relação entre a aceleração e a força, levando à expressão para o período T. A velocidade máxima no centro é obtida a partir da conservação de energia, demonstrando a relação entre a energia potencial gravitacional e a cinética no movimento.

Raio-X da questão

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