Disserte e mostre cálculos: determine o vetor velocidade do ponto extremo da sombra (componentes norte e…

Questão

Disserte e mostre cálculos: determine o vetor velocidade do ponto extremo da sombra (componentes norte e leste, em m/s, e módulo) para um gnômon h = 1,00 m no instante com A = 45,0°, Az_s = 150,0° (medido do norte para leste). Considere dA/dt = -2,90×10?5 rad/s e dAz_s/dt = +1,00×10?5 rad/s. Use s = h·cot A, Az_sombra = Az_s+180°, e escolha eixo norte (y) e leste (x).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Posição do extremo da sombra: s = h·cot A e Az_sombra = Az_s+180°. Tomando componentes com origem no gnômon: y (norte) = s·cos Az_sombra = -s·cos Az_s; x (leste) = s·sin Az_sombra = -s·sin Az_s. Derivadas temporais: ds/dt = -h·csc²A·dA/dt; d(Az_sombra)/dt = dAz_s/dt. Então v_y = d/dt(y) = -(ds/dt)·cos Az_s + s·sin Az_s·dAz_s/dt; v_x = d/dt(x) = -(ds/dt)·sin Az_s - s·cos Az_s·dAz_s/dt. Substituindo números: A=45° ? sinA=cosA=0,707106 ? csc²A=2. ds/dt = -1·2·(-2,90×10?5) = +5,80×10?5 m/s. s = 1·cot45° = 1,00 m. Az_s =150° ? cos150°=-0,8660254; sin150°=+0,5. Calcula-se v_y = -(5,80×10?5)·(-0,8660254) + 1,00·0,5·(1,00×10?5) = 5,0229×10?5 + 0,5×10?5 = 5,5229×10?5 m/s (norte). v_x = -(5,80×10?5)·0,5 - 1,00·(-0,8660254)·(1,00×10?5) = -2,9000×10?5 + 0,8660×10?5 = -2,0340×10?5 m/s (leste; negativo ? oeste). Módulo v = sqrt(v_x²+v_y²) ˜ sqrt((-2,0340×10?5)²+(5,5229×10?5)²) ˜ 5,885×10?5 m/s. Direção: azimute do vetor velocidade (medido do norte para leste) ˜ atan2(v_x,v_y) = atan2(-2,034×10?5,5,523×10?5) ˜ -20,0° ? equivalente a 340,0° (20° a oeste do norte). Resultado final: v_norte ˜ +5,52×10?5 m/s; v_leste ˜ -2,03×10?5 m/s; |v| ˜ 5,89×10?5 m/s; direção ˜ 340,0° (N20°W).

Explicação

Os cálculos realizados consideram as relações geométricas entre a altura do gnômon, o ângulo de elevação do sol e a posição da sombra, permitindo determinar as componentes de velocidade em direção norte e leste. A aplicação das derivadas temporais fornece as taxas de variação das componentes, que são então substituídas nas fórmulas para obter os valores numéricos. O módulo da velocidade e a direção são obtidos usando a fórmula da distância e a função atan2, garantindo uma representação precisa do movimento da sombra.

Raio-X da questão

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