Você recebeu medições horárias de temperatura (°C) em um mesmo dia: 0h ? 20°C; 6h ? 16°C (mínima); 12h ? 22°C…

Questão

Você recebeu medições horárias de temperatura (°C) em um mesmo dia: 0h ? 20°C; 6h ? 16°C (mínima); 12h ? 22°C; 18h ? 28°C (máxima). a) Construa um modelo senoidal T(h)=M + A·cos((2p/24)(h - f)) que descreva a variação diária, determinando M, A e f (em horas). b) Use o modelo para estimar T(9) e esboce o gráfico do modelo para h?[0,24].

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo: para uma oscilação diária com máximo = 28°C em h=18 e mínimo = 16°C em h=6, a média M = (Tmax+Tmin)/2 = (28+16)/2 = 22°C; amplitude A = (Tmax-Tmin)/2 = (28-16)/2 = 6°C. Usamos a forma com cosseno porque cos(0)=1 dá o pico diretamente: escolher f igual à hora do pico, f=18. Logo o modelo é T(h)=22 + 6·cos((2p/24)(h-18)) = 22 + 6·cos((p/12)(h-18)). Verificações: h=18 ? cos0=1 ? T=28°C; h=6 ? (p/12)(6-18)=-p ? cos(-p)=-1 ? T=16°C, conforme os extremos. Estimativa T(9): calcular ?=(p/12)(9-18)=-(3p/4); cos(-3p/4)=cos(3p/4)=-v2/2 ˜ -0.7071. Assim T(9)=22 + 6·(-0.7071) ˜ 22 - 4.2426 ˜ 17.8°C. Esboço do gráfico: curva senoidal com média 22°C, amplitude 6°C, pico às 18h (=28°C) e vale às 6h (=16°C), com período 24h; o gráfico em [0,24] mostra subida após o mínimo às 6h até o máximo às 18h e descida posterior, cruzando a média em valores intermediários (ex.: aproximadamente 20°C em 0h e 22°C em 12h).

Explicação

O modelo senoidal reflete a variação da temperatura ao longo do dia, utilizando a média e a amplitude para descrever os extremos de temperatura. A escolha do cosseno permite que o pico da temperatura ocorra na hora correta, e os cálculos para estimar a temperatura em um horário específico demonstram a aplicação do modelo. O gráfico resultante ilustra a oscilação da temperatura, evidenciando os pontos de máximo e mínimo ao longo de um ciclo de 24 horas.

Raio-X da questão

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